Produit scalaire en Première : exercices corrigés

Le produit scalaire permet de calculer un angle, de reconnaître une orthogonalité et de traduire une condition géométrique en équation. Les coordonnées donnent un outil rapide, à condition de respecter l’ordre des composantes.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur produit scalaire avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Calcul en coordonnées	5 min
2	Orthogonalité	Reconnaître un angle droit	6 min
3	Angle	Utiliser le cosinus	9 min
4	Géométrie	Prouver qu’un triangle est rectangle	9 min
5	Paramètre	Trouver une coordonnée	8 min

Exercice 1 — Calcul en coordonnées

Niveau : Application · Temps conseillé : 5 min

Calculer le produit scalaire de u(3 ; −2) et v(1 ; 4).

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Dans un repère orthonormé, u·v = xᵤxᵥ + yᵤyᵥ. Ici u·v = 3×1 + (−2)×4 = 3−8 = −5. Le signe négatif indique que l’angle orienté le plus petit est obtus.

Réponse : u·v = −5.

Contrôle : Recalculer séparément les deux produits avant de les additionner.

Exercice 2 — Reconnaître un angle droit

Niveau : Orthogonalité · Temps conseillé : 6 min

Les vecteurs u(2 ; 1) et v(1 ; −2) sont-ils orthogonaux ?

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On calcule u·v = 2×1 + 1×(−2) = 0. Deux vecteurs non nuls dont le produit scalaire est nul sont orthogonaux. Les deux vecteurs sont bien non nuls, donc ils définissent des directions perpendiculaires.

Réponse : Oui, u ⟂ v.

Contrôle : Le produit scalaire doit être exactement nul.

Exercice 3 — Utiliser le cosinus

Niveau : Angle · Temps conseillé : 9 min

Soient u(1 ; 0) et v(1 ; √3). Déterminer l’angle entre eux.

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On a u·v=1. Les normes valent ||u||=1 et ||v||=√(1+3)=2. Donc cos θ=(u·v)/(||u||||v||)=1/2. Pour l’angle géométrique compris entre 0 et π, on obtient θ=π/3, soit 60°.

Réponse : θ = π/3 = 60°.

Contrôle : Le produit scalaire positif est cohérent avec un angle aigu.

Exercice 4 — Prouver qu’un triangle est rectangle

Niveau : Géométrie · Temps conseillé : 9 min

Dans un repère orthonormé, A(0;0), B(4;0) et C(4;3). Montrer que ABC est rectangle.

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Au sommet B, BA=A−B=(−4;0) et BC=C−B=(0;3). Leur produit scalaire vaut (−4)×0+0×3=0. Les vecteurs BA et BC sont non nuls et orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en B.

Réponse : ABC est rectangle en B.

Contrôle : AB est horizontal et BC vertical, ce qui confirme le calcul.

Exercice 5 — Trouver une coordonnée

Niveau : Paramètre · Temps conseillé : 8 min

Déterminer k pour que u(k ; 2) soit orthogonal à v(3 ; −6).

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La condition d’orthogonalité est u·v=0. On écrit 3k + 2×(−6)=0, soit 3k−12=0. Ainsi 3k=12 et k=4. Pour u=(4;2), le produit vaut 12−12=0.

Réponse : k = 4.

Contrôle : Remplacer k dans le produit scalaire.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	u·v = −5.	Recalculer séparément les deux produits avant de les additionner.
2	Oui, u ⟂ v.	Le produit scalaire doit être exactement nul.
3	θ = π/3 = 60°.	Le produit scalaire positif est cohérent avec un angle aigu.
4	ABC est rectangle en B.	AB est horizontal et BC vertical, ce qui confirme le calcul.
5	k = 4.	Remplacer k dans le produit scalaire.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.