Trigonométrie en Première : exercices corrigés

Ces exercices entraînent les conversions, la réduction modulo 2π, les valeurs remarquables et la résolution sur un intervalle. Un cercle trigonométrique esquissé évite la plupart des erreurs de signe.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur trigonométrie avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Convertir degrés et radians	5 min
2	Valeurs remarquables	Lire sur le cercle	6 min
3	Réduction	Angle principal	7 min
4	Équation	Résoudre sur un tour	9 min
5	Synthèse	Déterminer un cosinus	9 min

Exercice 1 — Convertir degrés et radians

Niveau : Application · Temps conseillé : 5 min

Convertir 60° et 225° en radians.

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On multiplie une mesure en degrés par π/180. Ainsi 60° = 60π/180 = π/3. Pour 225°, on obtient 225π/180 = 5π/4 après simplification par 45.

Réponse : π/3 et 5π/4.

Contrôle : 180° correspond à π radians.

Exercice 2 — Lire sur le cercle

Niveau : Valeurs remarquables · Temps conseillé : 6 min

Donner cos(3π/4) et sin(3π/4).

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L’angle 3π/4 se situe dans le deuxième quadrant, avec pour angle de référence π/4. Le cosinus y est négatif et le sinus positif. Les valeurs absolues valent √2/2 : cos(3π/4)=−√2/2 et sin(3π/4)=√2/2.

Réponse : cos = −√2/2 ; sin = √2/2.

Contrôle : Vérifier cos²+sin²=1.

Exercice 3 — Angle principal

Niveau : Réduction · Temps conseillé : 7 min

Réduire 17π/6 modulo 2π et placer l’angle.

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Comme 2π=12π/6, on soustrait un tour complet : 17π/6−12π/6=5π/6. Les deux angles ont le même point image. 5π/6 est dans le deuxième quadrant.

Réponse : 17π/6 ≡ 5π/6 [2π].

Contrôle : La différence entre les angles vaut bien 2π.

Exercice 4 — Résoudre sur un tour

Niveau : Équation · Temps conseillé : 9 min

Résoudre cos x = 1/2 sur [0 ; 2π].

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Le cosinus vaut 1/2 pour l’angle de référence π/3. Sur un tour, le cosinus est positif dans les premier et quatrième quadrants. Les solutions sont donc x=π/3 et x=2π−π/3=5π/3.

Réponse : S = {π/3 ; 5π/3}.

Contrôle : Les deux angles sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

Exercice 5 — Déterminer un cosinus

Niveau : Synthèse · Temps conseillé : 9 min

On sait que sin x=3/5 et que x appartient au deuxième quadrant. Calculer cos x.

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L’identité cos²x+sin²x=1 donne cos²x=1−9/25=16/25, donc cos x=±4/5. Dans le deuxième quadrant, le cosinus est négatif. Ainsi cos x=−4/5. La donnée sur le quadrant est indispensable pour choisir le signe.

Réponse : cos x = −4/5.

Contrôle : (−4/5)²+(3/5)²=1.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	π/3 et 5π/4.	180° correspond à π radians.
2	cos = −√2/2 ; sin = √2/2.	Vérifier cos²+sin²=1.
3	17π/6 ≡ 5π/6 [2π].	La différence entre les angles vaut bien 2π.
4	S = {π/3 ; 5π/3}.	Les deux angles sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
5	cos x = −4/5.	(−4/5)²+(3/5)²=1.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.