Ensembles et logique en Première : exercices corrigés

Ces exercices entraînent le vocabulaire des ensembles, la négation, l’implication et la démonstration. Le point décisif est de distinguer un exemple, qui illustre, d’un raisonnement qui prouve.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur ensembles et logique avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Appartenance et inclusion	5 min
2	Méthode	Nier une proposition	6 min
3	Raisonnement	Implication et réciproque	8 min
4	Démonstration	Raisonner par contraposée	10 min
5	Piège	Corriger un raisonnement faux	8 min

Exercice 1 — Appartenance et inclusion

Niveau : Application · Temps conseillé : 5 min

On pose A = {−1 ; 0 ; 2} et B = {−1 ; 0 ; 1 ; 2}. Indiquer si les affirmations 0 ∈ A, 1 ∈ A, A ⊂ B et B ⊂ A sont vraies ou fausses.

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0 ∈ A est vraie et 1 ∈ A est fausse, car 1 ne figure pas dans A. Tous les éléments de A appartiennent à B : A ⊂ B est donc vraie. En revanche 1 appartient à B mais pas à A, donc B ⊂ A est fausse.

Réponse : Vrai ; faux ; vrai ; faux

Contrôle : Chercher un élément témoin pour réfuter une inclusion.

Exercice 2 — Nier une proposition

Niveau : Méthode · Temps conseillé : 6 min

Écrire la négation de : « Pour tout réel x, si x > 2 alors x² > 4. »

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La négation de « pour tout x, P(x) implique Q(x) » affirme qu’il existe au moins un x pour lequel P(x) est vraie et Q(x) est fausse. On obtient : « Il existe un réel x tel que x > 2 et x² ≤ 4. » Cette négation est logiquement correcte, même si elle est impossible dans les réels.

Réponse : Il existe x réel avec x > 2 et x² ≤ 4.

Contrôle : La négation d’une implication conserve l’hypothèse et nie la conclusion.

Exercice 3 — Implication et réciproque

Niveau : Raisonnement · Temps conseillé : 8 min

Montrer que si un entier est multiple de 6, alors il est divisible par 3. La réciproque est-elle vraie ?

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Si n est multiple de 6, il existe un entier k tel que n = 6k = 3(2k). Comme 2k est entier, n est divisible par 3. La réciproque serait : « si n est divisible par 3, alors n est multiple de 6 ». Elle est fausse : 9 est divisible par 3 mais n’est pas multiple de 6.

Réponse : Implication vraie ; réciproque fausse.

Contrôle : Une preuve générale utilise une écriture algébrique ; un contre-exemple suffit pour la réciproque.

Exercice 4 — Raisonner par contraposée

Niveau : Démonstration · Temps conseillé : 10 min

Démontrer : si n² est impair, alors n est impair.

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On prouve la contraposée : si n est pair, alors n² est pair. Si n = 2k avec k entier, alors n² = 4k² = 2(2k²), donc n² est pair. La contraposée étant vraie, l’implication initiale l’est aussi.

Réponse : La contraposée prouve l’énoncé.

Contrôle : Vérifier que la contraposée de P ⇒ Q est non-Q ⇒ non-P.

Exercice 5 — Corriger un raisonnement faux

Niveau : Piège · Temps conseillé : 8 min

Un élève écrit : « x² = 4, donc x = 2 ». Identifier l’erreur et donner la résolution correcte.

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Le passage oublie qu’un carré peut provenir de deux nombres opposés. L’équation x² = 4 équivaut à x² − 4 = 0, puis (x − 2)(x + 2) = 0. Par la règle du produit nul, x = 2 ou x = −2.

Réponse : S = {−2 ; 2}.

Contrôle : Remplacer chaque solution dans l’équation initiale.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	Vrai ; faux ; vrai ; faux	Chercher un élément témoin pour réfuter une inclusion.
2	Il existe x réel avec x > 2 et x² ≤ 4.	La négation d’une implication conserve l’hypothèse et nie la conclusion.
3	Implication vraie ; réciproque fausse.	Une preuve générale utilise une écriture algébrique ; un contre-exemple suffit pour la réciproque.
4	La contraposée prouve l’énoncé.	Vérifier que la contraposée de P ⇒ Q est non-Q ⇒ non-P.
5	S = {−2 ; 2}.	Remplacer chaque solution dans l’équation initiale.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.