Géométrie repérée en Première : exercices corrigés

Cette série relie vecteurs, milieu, distance, équation de droite et intersection. Le risque principal est une erreur de soustraction : pour le vecteur AB, on calcule toujours les coordonnées de B moins celles de A.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur géométrie repérée avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Coordonnées d’un vecteur	5 min
2	Milieu	Calculer des coordonnées	6 min
3	Distance	Appliquer la formule	6 min
4	Droite	Trouver une équation cartésienne	10 min
5	Synthèse	Intersection de deux droites	10 min

Exercice 1 — Coordonnées d’un vecteur

Niveau : Application · Temps conseillé : 5 min

Avec A(−1 ; 2) et B(3 ; −4), calculer les coordonnées de AB.

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AB=(x_B−x_A ; y_B−y_A)=(3−(−1) ; −4−2)=(4 ; −6). Les parenthèses autour de −1 évitent une erreur de signe.

Réponse : AB = (4 ; −6).

Contrôle : A + AB redonne B : (−1+4 ; 2−6)=(3 ; −4).

Exercice 2 — Calculer des coordonnées

Niveau : Milieu · Temps conseillé : 6 min

Déterminer le milieu I du segment [AB] avec A(−2 ; 5) et B(6 ; −1).

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Les coordonnées du milieu sont les moyennes : I((−2+6)/2 ; (5−1)/2) = I(2 ; 2). On moyenne séparément les abscisses et les ordonnées.

Réponse : I(2 ; 2).

Contrôle : Les vecteurs AI et IB valent tous deux (4 ; −3).

Exercice 3 — Appliquer la formule

Niveau : Distance · Temps conseillé : 6 min

Calculer la distance entre A(1 ; 2) et B(4 ; 6).

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AB=√((4−1)²+(6−2)²)=√(3²+4²)=√25=5. Cette formule utilise le théorème de Pythagore dans un repère orthonormé.

Réponse : AB = 5.

Contrôle : Le triplet 3-4-5 permet un contrôle mental immédiat.

Exercice 4 — Trouver une équation cartésienne

Niveau : Droite · Temps conseillé : 10 min

Déterminer une équation de la droite passant par A(1 ; 2) et de vecteur directeur u(2 ; −1).

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Un vecteur normal à u(2;−1) est n(1;2), car 1×2+2×(−1)=0. Une équation est donc x+2y+c=0. Comme A appartient à la droite, 1+2×2+c=0, d’où c=−5.

Réponse : x + 2y − 5 = 0.

Contrôle : A vérifie 1+4−5=0 et u est orthogonal au vecteur normal.

Exercice 5 — Intersection de deux droites

Niveau : Synthèse · Temps conseillé : 10 min

Déterminer le point d’intersection de y=2x+1 et x+y=7.

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On remplace y par 2x+1 dans la seconde équation : x+2x+1=7, donc 3x=6 et x=2. Alors y=2×2+1=5. Le point d’intersection est I(2;5).

Réponse : I(2 ; 5).

Contrôle : 2×2+1=5 et 2+5=7 : les deux équations sont vérifiées.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	AB = (4 ; −6).	A + AB redonne B : (−1+4 ; 2−6)=(3 ; −4).
2	I(2 ; 2).	Les vecteurs AI et IB valent tous deux (4 ; −3).
3	AB = 5.	Le triplet 3-4-5 permet un contrôle mental immédiat.
4	x + 2y − 5 = 0.	A vérifie 1+4−5=0 et u est orthogonal au vecteur normal.
5	I(2 ; 5).	2×2+1=5 et 2+5=7 : les deux équations sont vérifiées.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.