Variations de fonctions en Première : exercices corrigés

Étudier des variations exige trois étapes séparées : calculer la dérivée, déterminer son signe, puis traduire ce signe pour la fonction. Mélanger ces étapes produit des tableaux incohérents.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur variations de fonctions avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Minimum d’une parabole	7 min
2	Méthode	Deux extremums locaux	10 min
3	Lecture	Déduire sans calcul lourd	8 min
4	Optimisation	Maximum d’un bénéfice	10 min
5	Piège	Dérivée nulle sans extremum	8 min

Exercice 1 — Minimum d’une parabole

Niveau : Application · Temps conseillé : 7 min

Étudier les variations de f(x)=x²−4x+1 sur ℝ et donner son minimum.

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f′(x)=2x−4. Cette dérivée est négative si x<2, nulle en 2 et positive si x>2. Ainsi f décroît sur ]−∞;2] puis croît sur [2;+∞[. Son minimum est f(2)=4−8+1=−3.

Réponse : Minimum −3 atteint en x=2.

Contrôle : La forme canonique (x−2)²−3 confirme le résultat.

Exercice 2 — Deux extremums locaux

Niveau : Méthode · Temps conseillé : 10 min

Étudier les variations de g(x)=x³−3x sur ℝ.

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g′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). La dérivée est positive sur ]−∞;−1[ et ]1;+∞[, négative sur ]−1;1[. Donc g croît jusqu’à −1, décroît de −1 à 1, puis croît. g(−1)=2 est un maximum local et g(1)=−2 un minimum local.

Réponse : Maximum local 2 ; minimum local −2.

Contrôle : Tester le signe de g′ dans chacun des trois intervalles.

Exercice 3 — Déduire sans calcul lourd

Niveau : Lecture · Temps conseillé : 8 min

On sait que h′ est strictement positive sur ]−2;4[ et strictement négative sur ]4;7[. Que peut-on conclure pour h ?

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Une dérivée positive signifie que h est strictement croissante : h croît sur ]−2;4[. Une dérivée négative signifie qu’elle est strictement décroissante : h décroît sur ]4;7[. Si h est définie et continue au point 4, h(4) est alors un maximum sur l’intervalle ]−2;7[.

Réponse : Croissante puis décroissante ; maximum en 4.

Contrôle : Ne pas confondre le signe de h et celui de h′.

Exercice 4 — Maximum d’un bénéfice

Niveau : Optimisation · Temps conseillé : 10 min

Un bénéfice est modélisé sur [0;6] par B(x)=−x²+6x+1. Déterminer son maximum.

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B′(x)=−2x+6. Elle est positive sur [0;3[, nulle en 3 puis négative sur ]3;6]. B augmente puis diminue ; son maximum est donc atteint en x=3. B(3)=−9+18+1=10. Les bornes donnent B(0)=1 et B(6)=1, donc aucune ne dépasse 10.

Réponse : Maximum 10 pour x=3.

Contrôle : Sur un intervalle fermé, comparer aussi les valeurs aux bornes.

Exercice 5 — Dérivée nulle sans extremum

Niveau : Piège · Temps conseillé : 8 min

La condition f′(a)=0 suffit-elle à garantir un extremum ? Étudier f(x)=x³ en a=0.

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f′(x)=3x² et f′(0)=0. Pourtant f′(x) est positive de part et d’autre de 0 : la fonction x³ reste strictement croissante sur ℝ. Elle ne possède donc ni maximum ni minimum en 0. Une dérivée nulle donne un point critique, pas automatiquement un extremum.

Réponse : Non : x³ n’a pas d’extremum en 0.

Contrôle : Chercher un changement de signe de la dérivée autour du point critique.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	Minimum −3 atteint en x=2.	La forme canonique (x−2)²−3 confirme le résultat.
2	Maximum local 2 ; minimum local −2.	Tester le signe de g′ dans chacun des trois intervalles.
3	Croissante puis décroissante ; maximum en 4.	Ne pas confondre le signe de h et celui de h′.
4	Maximum 10 pour x=3.	Sur un intervalle fermé, comparer aussi les valeurs aux bornes.
5	Non : x³ n’a pas d’extremum en 0.	Chercher un changement de signe de la dérivée autour du point critique.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.