Dérivation en Première : exercices corrigés

Ces exercices vont du calcul de dérivée à l’équation d’une tangente, puis à l’interprétation d’une vitesse de variation. La priorité est de choisir la bonne règle avant de calculer.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur dérivation avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Dériver un polynôme	5 min
2	Méthode	Dériver un produit	8 min
3	Tangente	Équation en un point	9 min
4	Application	Vitesse instantanée	10 min
5	Piège	Réparer une fausse règle	8 min

Exercice 1 — Dériver un polynôme

Niveau : Application · Temps conseillé : 5 min

Déterminer la dérivée de f(x)=4x³−3x²+2.

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On dérive terme à terme : (4x³)′ = 12x², (−3x²)′ = −6x et la dérivée de la constante 2 est 0. Ainsi f′(x)=12x²−6x. On peut factoriser : f′(x)=6x(2x−1).

Réponse : f′(x)=12x²−6x.

Contrôle : Le degré de la dérivée d’un polynôme non constant baisse d’une unité.

Exercice 2 — Dériver un produit

Niveau : Méthode · Temps conseillé : 8 min

Pour f(x)=(x²+1)(3x−2), calculer f′(x) puis réduire.

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Avec u=x²+1 et v=3x−2, on utilise (uv)′=u′v+uv′. Donc f′(x)=2x(3x−2)+3(x²+1)=6x²−4x+3x²+3=9x²−4x+3. Développer f avant de dériver conduirait au même résultat.

Réponse : f′(x)=9x²−4x+3.

Contrôle : Développer f=3x³−2x²+3x−2 pour vérifier.

Exercice 3 — Équation en un point

Niveau : Tangente · Temps conseillé : 9 min

Soit f(x)=x²+3x. Déterminer l’équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse 1.

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On calcule f(1)=4 et f′(x)=2x+3, donc f′(1)=5. L’équation de la tangente en a=1 est y=f′(1)(x−1)+f(1), soit y=5(x−1)+4=5x−1.

Réponse : y = 5x − 1.

Contrôle : La droite doit passer par (1 ; 4) : 5×1−1=4.

Exercice 4 — Vitesse instantanée

Niveau : Application · Temps conseillé : 10 min

La position d’un mobile est s(t)=t³−6t²+9t, en mètres. Calculer sa vitesse à t=2 s.

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La vitesse instantanée est la dérivée de la position : v(t)=s′(t)=3t²−12t+9. À t=2, v(2)=3×4−24+9=−3 m/s. Le signe négatif indique un déplacement dans le sens opposé à l’orientation choisie.

Réponse : v(2)=−3 m/s.

Contrôle : L’unité est m/s, pas m ni m/s².

Exercice 5 — Réparer une fausse règle

Niveau : Piège · Temps conseillé : 8 min

Un élève affirme que (uv)′=u′v′. Montrer que cette règle est fausse avec u(x)=x et v(x)=x, puis donner la bonne règle.

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Ici uv=x², donc (uv)′=2x. La règle proposée donnerait u′v′=1×1=1, ce qui n’est pas égal à 2x en général. La formule correcte est (uv)′=u′v+uv′. Appliquée à x×x, elle donne 1×x+x×1=2x.

Réponse : La bonne règle est u′v + uv′.

Contrôle : Un seul contre-exemple suffit à réfuter une formule prétendue universelle.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	f′(x)=12x²−6x.	Le degré de la dérivée d’un polynôme non constant baisse d’une unité.
2	f′(x)=9x²−4x+3.	Développer f=3x³−2x²+3x−2 pour vérifier.
3	y = 5x − 1.	La droite doit passer par (1 ; 4) : 5×1−1=4.
4	v(2)=−3 m/s.	L’unité est m/s, pas m ni m/s².
5	La bonne règle est u′v + uv′.	Un seul contre-exemple suffit à réfuter une formule prétendue universelle.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.