Probabilités conditionnelles en Première : exercices corrigés

Les probabilités conditionnelles imposent de distinguer P(A∩B), P_A(B) et P_B(A). Dessinez l’arbre ou le tableau avant d’utiliser une formule : la plupart des erreurs viennent d’événements inversés.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur probabilités conditionnelles avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Probabilité d’une intersection	6 min
2	Formule totale	Réunir deux branches	8 min
3	Bayes	Inverser la condition	9 min
4	Indépendance	Tester une égalité	8 min
5	Tableau	Conditionner sur une population	10 min

Exercice 1 — Probabilité d’une intersection

Niveau : Application · Temps conseillé : 6 min

On sait que P(A)=0,4 et P_A(B)=0,7. Calculer P(A∩B).

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La formule P(A∩B)=P(A)×P_A(B) donne 0,4×0,7=0,28. Sur un arbre, il s’agit du produit des probabilités rencontrées le long de la branche A puis B.

Réponse : P(A∩B)=0,28.

Contrôle : L’intersection ne peut pas dépasser P(A)=0,4.

Exercice 2 — Réunir deux branches

Niveau : Formule totale · Temps conseillé : 8 min

On donne P(A)=0,3, P_A(B)=0,8 et P_non-A(B)=0,2. Calculer P(B).

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Les événements A et non-A forment une partition. Donc P(B)=P(A)P_A(B)+P(non-A)P_non-A(B)=0,3×0,8+0,7×0,2=0,24+0,14=0,38.

Réponse : P(B)=0,38.

Contrôle : Les deux intersections 0,24 et 0,14 sont incompatibles et s’additionnent.

Exercice 3 — Inverser la condition

Niveau : Bayes · Temps conseillé : 9 min

Avec les données précédentes, calculer P_B(A).

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On utilise P_B(A)=P(A∩B)/P(B). La branche A puis B vaut 0,3×0,8=0,24 et P(B)=0,38. Ainsi P_B(A)=0,24/0,38=12/19≈0,632. Il ne faut pas confondre ce nombre avec P_A(B)=0,8.

Réponse : P_B(A)=12/19≈0,632.

Contrôle : Le numérateur est une partie de B, donc le quotient est entre 0 et 1.

Exercice 4 — Tester une égalité

Niveau : Indépendance · Temps conseillé : 8 min

On donne P(A)=0,5, P(B)=0,4 et P(A∩B)=0,2. A et B sont-ils indépendants ?

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Deux événements de probabilités non nulles sont indépendants si P(A∩B)=P(A)P(B). Or 0,5×0,4=0,2, exactement la valeur donnée. Les événements sont donc indépendants. On aurait aussi P_A(B)=P(B)=0,4.

Réponse : Oui, A et B sont indépendants.

Contrôle : Comparer l’intersection au produit des probabilités marginales.

Exercice 5 — Conditionner sur une population

Niveau : Tableau · Temps conseillé : 10 min

Dans un groupe de 200 élèves, 120 pratiquent un sport ; parmi eux, 30 jouent au tennis. Calculer la probabilité de jouer au tennis sachant que l’élève pratique un sport.

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L’univers conditionnel n’est plus le groupe de 200, mais les 120 élèves sportifs. Parmi ces 120 élèves, 30 jouent au tennis. Donc P_sport(tennis)=30/120=1/4=0,25. Diviser par 200 donnerait l’intersection dans la population totale, pas la probabilité conditionnelle.

Réponse : 0,25.

Contrôle : Le dénominateur doit être l’effectif de la condition : 120.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	P(A∩B)=0,28.	L’intersection ne peut pas dépasser P(A)=0,4.
2	P(B)=0,38.	Les deux intersections 0,24 et 0,14 sont incompatibles et s’additionnent.
3	P_B(A)=12/19≈0,632.	Le numérateur est une partie de B, donc le quotient est entre 0 et 1.
4	Oui, A et B sont indépendants.	Comparer l’intersection au produit des probabilités marginales.
5	0,25.	Le dénominateur doit être l’effectif de la condition : 120.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.