Fonction exponentielle en Première : exercices corrigés

La fonction exponentielle combine règles de calcul, équations, inéquations et modélisation d’une croissance continue. Avant tout calcul décimal, simplifiez les puissances et exploitez le fait que l’exponentielle est strictement croissante.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur fonction exponentielle avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Simplifier des exponentielles	5 min
2	Équation	Utiliser l’injectivité	6 min
3	Inéquation	Comparer à 1	7 min
4	Modélisation	Croissance continue	10 min
5	Dérivation	Produit avec exponentielle	9 min

Exercice 1 — Simplifier des exponentielles

Niveau : Application · Temps conseillé : 5 min

Simplifier e³ × e⁻¹ puis e⁵/e².

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Pour une même base, les exposants s’additionnent dans un produit et se soustraient dans un quotient. Ainsi e³ × e⁻¹ = e^(3−1) = e². De même e⁵/e² = e^(5−2) = e³. Aucun arrondi n’est utile.

Réponse : e² puis e³.

Contrôle : Les deux résultats restent strictement positifs.

Exercice 2 — Utiliser l’injectivité

Niveau : Équation · Temps conseillé : 6 min

Résoudre dans ℝ : e^(2x+1) = e⁷.

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La fonction exponentielle est injective : deux exponentielles de même base sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux. On résout 2x+1=7, donc 2x=6 et x=3.

Réponse : x = 3.

Contrôle : Remplacer : 2×3+1=7.

Exercice 3 — Comparer à 1

Niveau : Inéquation · Temps conseillé : 7 min

Résoudre e^(x−4) ≥ 1.

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On sait que 1=e⁰ et que la fonction exponentielle est strictement croissante. L’inégalité e^(x−4) ≥ e⁰ équivaut donc à x−4 ≥ 0, soit x ≥ 4.

Réponse : S = [4 ; +∞[.

Contrôle : À x=4, le membre de gauche vaut exactement 1.

Exercice 4 — Croissance continue

Niveau : Modélisation · Temps conseillé : 10 min

Une population est modélisée par P(t)=500e^(0,02t), avec t en années. Estimer P(10) et interpréter.

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P(10)=500e^0,2. Comme e^0,2 ≈ 1,2214, on obtient P(10) ≈ 610,7, soit environ 611 individus si l’on compte des unités entières. Le modèle prévoit une hausse d’environ 111 individus en dix ans.

Réponse : P(10) ≈ 611 individus.

Contrôle : Le résultat doit être supérieur à 500 car 0,02t est positif.

Exercice 5 — Produit avec exponentielle

Niveau : Dérivation · Temps conseillé : 9 min

Dériver f(x)=(2x−3)eˣ et étudier le signe de f′.

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Avec u=2x−3 et v=eˣ, f′=u′v+uv′=2eˣ+(2x−3)eˣ=(2x−1)eˣ. Comme eˣ>0, le signe de f′ est celui de 2x−1 : négatif si x<1/2, nul en 1/2, positif ensuite.

Réponse : f′(x)=(2x−1)eˣ.

Contrôle : Le facteur exponentiel ne change jamais le signe.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	e² puis e³.	Les deux résultats restent strictement positifs.
2	x = 3.	Remplacer : 2×3+1=7.
3	S = [4 ; +∞[.	À x=4, le membre de gauche vaut exactement 1.
4	P(10) ≈ 611 individus.	Le résultat doit être supérieur à 500 car 0,02t est positif.
5	f′(x)=(2x−1)eˣ.	Le facteur exponentiel ne change jamais le signe.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.