Fonction exponentielle en Première : cours complet

Objectif : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable égale à sa dérivée et valant 1 en 0. Elle transforme les sommes en produits et modélise les évolutions continues proportionnelles à la quantité présente. À la fin, vous saurez choisir la bonne propriété, conduire un calcul lisible et repérer une réponse incohérente.

Comprendre la notion avant d’appliquer une formule

On note exp(x)=eˣ. Pour tous réels x et y, eˣ⁺ʸ=eˣeʸ et e⁻ˣ=1/eˣ. La fonction est strictement positive et strictement croissante sur ℝ, car sa dérivée est elle-même. Résoudre une équation exponentielle consiste souvent à utiliser l’injectivité : eᵘ=eᵛ équivaut à u=v. Une inéquation conserve son sens puisque l’exponentielle est croissante.

Le programme de Première ne demande pas seulement de restituer une formule. Il faut passer d’une représentation à une autre, expliquer une démarche et vérifier le résultat. Dans un exercice, commencez donc par écrire les données, l’objet recherché et la propriété qui relie les deux. Cette phrase de préparation évite la plupart des calculs lancés sans direction.

Les notions et formules à maîtriser

Repère	Ce qu’il signifie
Valeur initiale	e⁰=1.
Dérivée	(eˣ)’=eˣ.
Produit	eˣ⁺ʸ=eˣeʸ.
Ordre	eᵘ

Ce tableau sert de référence, mais une formule n’est valable que si ses conditions sont remplies. Avant de remplacer des lettres par des nombres, contrôlez le domaine, les signes, l’indice initial ou la population de référence selon le chapitre. Conservez les valeurs exactes pendant le calcul et n’arrondissez qu’à la fin si le contexte l’exige.

Une méthode en quatre étapes pour résoudre les exercices

Étape	Action	Contrôle attendu
1	Réécrire	Mettre les expressions sous une base exponentielle comparable.
2	Simplifier	Utiliser les règles sur les exposants avant de calculer.
3	Comparer	Employer la stricte croissance pour équations et inéquations.
4	Contrôler	Vérifier positivité, valeur en 0 et ordre de grandeur.

Une rédaction efficace sépare les étapes : propriété utilisée, calcul, conclusion. Le résultat doit être accompagné de son sens. Une valeur numérique sans phrase finale peut être exacte mais ne répond pas complètement à une question de variation, de probabilité, de géométrie ou de modélisation.

Exemple corrigé pas à pas

Énoncé. Résoudre e^(2x−1)=e^(x+3), puis e^(x−2)<1.

L’injectivité donne 2x−1=x+3, donc x=4.
Pour la seconde inéquation, écrire 1=e⁰.
Comme l’exponentielle est strictement croissante, e^(x−2)
La solution est donc x<2.

Contrôle rapide : reprenez le résultat par une seconde voie simple : substitution, signe, ordre de grandeur, lecture graphique ou somme des probabilités. Ce contrôle n’est pas une décoration ; il détecte une erreur de signe, d’indice ou de population avant la conclusion.

Les erreurs qui font perdre des points

Écrire e^(x+y)=eˣ+eʸ.
Penser que l’exponentielle peut être nulle ou négative.
Changer le sens d’une inéquation alors que la fonction est croissante.
Confondre e^(2x) avec 2eˣ.

Pour corriger durablement une erreur, notez sa cause et non seulement la bonne réponse. Écrivez par exemple « j’ai utilisé la réciproque sans la prouver » ou « j’ai changé de population de référence ». Une trace précise permet de reconnaître la même erreur dans un autre exercice, même lorsque les nombres changent.

Exercice d’application immédiate

Simplifiez e^(3x)/e^x et résolvez e^(2x)=1.

Afficher la correction

Le quotient vaut e^(2x). Comme 1=e⁰ et que l’exponentielle est injective, 2x=0, donc x=0.

Refaites ensuite le calcul sans regarder. Si vous retrouvez seulement la réponse finale, l’apprentissage reste fragile : vous devez pouvoir justifier la propriété choisie et le contrôle effectué.

Réviser avec la carte mentale associée

Utilisez la carte mentale « Fonction exponentielle en Première » après le cours, pas avant. Cachez les branches, restituez les formules et associez à chacune une condition d’emploi. Revenez ensuite à l’exemple corrigé et modifiez une donnée : cette variation oblige à comprendre la méthode au lieu de mémoriser une suite de symboles.

Ce que cette leçon couvre — et ce qu’elle ne remplace pas

Cette leçon couvre les connaissances et gestes essentiels attendus dans le programme de spécialité de Première applicable à la rentrée 2026. Elle ne remplace pas une série progressive d’exercices ni les démonstrations demandées par votre professeur. Pour préparer l’épreuve anticipée, entraînez aussi les automatismes sans calculatrice et les problèmes où plusieurs chapitres sont mobilisés ensemble.

Sources principales

Programme et ressources vérifiés le 24 septembre 2026.

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