Variables aléatoires en Première : exercices corrigés

Cette série entraîne la construction d’une loi, l’espérance, la variance, l’écart type et la notion de jeu équitable. Une loi n’est valide que si toutes les probabilités sont positives et si leur somme vaut 1.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur variables aléatoires avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Loi	Construire une distribution	7 min
2	Espérance	Calculer une moyenne théorique	7 min
3	Dispersion	Variance et écart type	10 min
4	Transformation	Variable affine	9 min
5	Jeu équitable	Déterminer une mise	10 min

Exercice 1 — Construire une distribution

Niveau : Loi · Temps conseillé : 7 min

On lance un dé équilibré. X vaut 1 si le résultat est pair et 0 sinon. Donner la loi de X.

Afficher le corrigé détaillé

Les résultats pairs sont 2, 4 et 6 : leur probabilité est 3/6=1/2. Les résultats impairs sont aussi au nombre de trois. Ainsi P(X=1)=1/2 et P(X=0)=1/2. X suit ici une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.

Réponse : P(X=0)=1/2 ; P(X=1)=1/2.

Contrôle : La somme des probabilités vaut 1.

Exercice 2 — Calculer une moyenne théorique

Niveau : Espérance · Temps conseillé : 7 min

X prend les valeurs −2, 1 et 4 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 et 0,3. Calculer E(X).

Afficher le corrigé détaillé

E(X)=Σxᵢpᵢ=(−2)×0,2+1×0,5+4×0,3=−0,4+0,5+1,2=1,3. L’espérance peut ne pas être une valeur effectivement prise par X : elle décrit une moyenne à long terme.

Réponse : E(X)=1,3.

Contrôle : Les probabilités 0,2+0,5+0,3 valent 1.

Exercice 3 — Variance et écart type

Niveau : Dispersion · Temps conseillé : 10 min

Pour la même variable X, calculer V(X) et σ(X).

Afficher le corrigé détaillé

On calcule E(X²)=4×0,2+1×0,5+16×0,3=0,8+0,5+4,8=6,1. Puis V(X)=E(X²)−E(X)²=6,1−1,3²=6,1−1,69=4,41. L’écart type est σ(X)=√4,41=2,1.

Réponse : V(X)=4,41 ; σ(X)=2,1.

Contrôle : Une variance est toujours positive ou nulle et l’écart type a l’unité de X.

Exercice 4 — Variable affine

Niveau : Transformation · Temps conseillé : 9 min

On pose Y=2X+3 avec la variable précédente. Calculer E(Y) et V(Y).

Afficher le corrigé détaillé

Pour une transformation affine, E(aX+b)=aE(X)+b et V(aX+b)=a²V(X). Donc E(Y)=2×1,3+3=5,6. La variance vaut V(Y)=2²×4,41=17,64. Ajouter 3 déplace les valeurs mais ne change pas leur dispersion ; multiplier par 2 quadruple la variance.

Réponse : E(Y)=5,6 ; V(Y)=17,64.

Contrôle : L’écart type de Y serait 2×2,1=4,2, dont le carré vaut 17,64.

Exercice 5 — Déterminer une mise

Niveau : Jeu équitable · Temps conseillé : 10 min

Un jeu verse 0 € avec probabilité 0,5, 5 € avec probabilité 0,3 et 10 € avec probabilité 0,2. Quelle mise rend le gain algébrique moyen nul ?

Afficher le corrigé détaillé

Le versement moyen vaut 0×0,5+5×0,3+10×0,2=0+1,5+2=3,5 €. Si la mise est m, le gain algébrique est versement−m et son espérance vaut 3,5−m. Pour un jeu équitable, 3,5−m=0, donc m=3,5 €.

Réponse : Mise équitable : 3,50 €.

Contrôle : À cette mise, l’espérance du gain net est exactement nulle.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	P(X=0)=1/2 ; P(X=1)=1/2.	La somme des probabilités vaut 1.
2	E(X)=1,3.	Les probabilités 0,2+0,5+0,3 valent 1.
3	V(X)=4,41 ; σ(X)=2,1.	Une variance est toujours positive ou nulle et l’écart type a l’unité de X.
4	E(Y)=5,6 ; V(Y)=17,64.	L’écart type de Y serait 2×2,1=4,2, dont le carré vaut 17,64.
5	Mise équitable : 3,50 €.	À cette mise, l’espérance du gain net est exactement nulle.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.