Variables aléatoires en Première : cours complet

Objectif : Une variable aléatoire associe une valeur numérique à chaque issue d’une expérience. Sa loi regroupe les valeurs possibles et leurs probabilités, puis permet de calculer une moyenne théorique et une dispersion. À la fin, vous saurez choisir la bonne propriété, conduire un calcul lisible et repérer une réponse incohérente.

Comprendre la notion avant d’appliquer une formule

Pour une variable X prenant les valeurs xᵢ avec les probabilités pᵢ, la somme des pᵢ vaut 1. L’espérance est E(X)=Σxᵢpᵢ. La variance peut se calculer par V(X)=E(X²)−E(X)² et l’écart type est σ(X)=√V(X). L’espérance décrit une moyenne à long terme ; elle n’est pas nécessairement une valeur possible de X.

Le programme de Première ne demande pas seulement de restituer une formule. Il faut passer d’une représentation à une autre, expliquer une démarche et vérifier le résultat. Dans un exercice, commencez donc par écrire les données, l’objet recherché et la propriété qui relie les deux. Cette phrase de préparation évite la plupart des calculs lancés sans direction.

Les notions et formules à maîtriser

Repère	Ce qu’il signifie
Loi	Associer chaque valeur xᵢ à P(X=xᵢ).
Espérance	E(X)=Σxᵢpᵢ.
Variance	V(X)=E(X²)−E(X)².
Écart type	σ(X)=√V(X), dans la même unité que X.

Ce tableau sert de référence, mais une formule n’est valable que si ses conditions sont remplies. Avant de remplacer des lettres par des nombres, contrôlez le domaine, les signes, l’indice initial ou la population de référence selon le chapitre. Conservez les valeurs exactes pendant le calcul et n’arrondissez qu’à la fin si le contexte l’exige.

Une méthode en quatre étapes pour résoudre les exercices

Étape	Action	Contrôle attendu
1	Lister	Identifier toutes les valeurs possibles sans doublon.
2	Probabiliser	Calculer chaque probabilité et vérifier que leur somme vaut 1.
3	Calculer	Former les sommes pondérées pour E(X) puis E(X²).
4	Interpréter	Relier l’espérance au gain moyen et l’écart type à la dispersion.

Une rédaction efficace sépare les étapes : propriété utilisée, calcul, conclusion. Le résultat doit être accompagné de son sens. Une valeur numérique sans phrase finale peut être exacte mais ne répond pas complètement à une question de variation, de probabilité, de géométrie ou de modélisation.

Exemple corrigé pas à pas

Énoncé. Un jeu donne 0 € avec probabilité 0,5, 2 € avec probabilité 0,3 et 5 € avec probabilité 0,2. Calculer l’espérance.

La loi est complète car 0,5+0,3+0,2=1.
On calcule E(X)=0×0,5+2×0,3+5×0,2.
Donc E(X)=0+0,6+1=1,6.
Sur un grand nombre de parties, le gain moyen théorique est de 1,60 € par partie ; cela ne prédit pas le résultat d’une partie isolée.

Contrôle rapide : reprenez le résultat par une seconde voie simple : substitution, signe, ordre de grandeur, lecture graphique ou somme des probabilités. Ce contrôle n’est pas une décoration ; il détecte une erreur de signe, d’indice ou de population avant la conclusion.

Les erreurs qui font perdre des points

Oublier une valeur possible dans la loi.
Ne pas vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
Confondre espérance et résultat garanti.
Calculer V(X) comme E(X²)−E(X) au lieu de E(X²)−E(X)².

Pour corriger durablement une erreur, notez sa cause et non seulement la bonne réponse. Écrivez par exemple « j’ai utilisé la réciproque sans la prouver » ou « j’ai changé de population de référence ». Une trace précise permet de reconnaître la même erreur dans un autre exercice, même lorsque les nombres changent.

Exercice d’application immédiate

Une variable X vaut −1 avec probabilité 0,25 et 3 avec probabilité 0,75. Calculez E(X).

Afficher la correction

E(X)=−1×0,25+3×0,75=−0,25+2,25=2.

Refaites ensuite le calcul sans regarder. Si vous retrouvez seulement la réponse finale, l’apprentissage reste fragile : vous devez pouvoir justifier la propriété choisie et le contrôle effectué.

Réviser avec la carte mentale associée

Utilisez la carte mentale « Variables aléatoires en Première » après le cours, pas avant. Cachez les branches, restituez les formules et associez à chacune une condition d’emploi. Revenez ensuite à l’exemple corrigé et modifiez une donnée : cette variation oblige à comprendre la méthode au lieu de mémoriser une suite de symboles.

Ce que cette leçon couvre — et ce qu’elle ne remplace pas

Cette leçon couvre les connaissances et gestes essentiels attendus dans le programme de spécialité de Première applicable à la rentrée 2026. Elle ne remplace pas une série progressive d’exercices ni les démonstrations demandées par votre professeur. Pour préparer l’épreuve anticipée, entraînez aussi les automatismes sans calculatrice et les problèmes où plusieurs chapitres sont mobilisés ensemble.

Sources principales

Programme et ressources vérifiés le 24 septembre 2026.

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