Suites numériques en Première : exercices corrigés

Les exercices alternent calcul de termes, reconnaissance d’un modèle, passage d’une récurrence à une situation concrète et comparaison de croissances. Écrivez toujours l’indice de départ avant d’appliquer une formule.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur suites numériques avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Suite arithmétique	5 min
2	Méthode	Suite géométrique	6 min
3	Récurrence	Calculer des termes successifs	7 min
4	Modélisation	Épargne mensuelle	10 min
5	Synthèse	Comparer deux croissances	12 min

Exercice 1 — Suite arithmétique

Niveau : Application · Temps conseillé : 5 min

Une suite arithmétique vérifie u₀ = 7 et a pour raison 3. Calculer u₅.

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Pour une suite arithmétique indexée à partir de 0, uₙ = u₀ + nr. Ainsi u₅ = 7 + 5 × 3 = 22. Une erreur fréquente consiste à n’ajouter que quatre fois la raison ; ce serait le cas si le premier terme était u₁.

Réponse : u₅ = 22.

Contrôle : Lister 7, 10, 13, 16, 19, 22 pour contrôler.

Exercice 2 — Suite géométrique

Niveau : Méthode · Temps conseillé : 6 min

Une quantité vaut 200 au rang 0 et diminue de 5 % à chaque rang. Calculer sa valeur au rang 4.

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Diminuer de 5 % revient à multiplier par 0,95. La suite est géométrique de raison 0,95 : v₄ = 200 × 0,95⁴ = 162,90125. Selon la précision demandée, on arrondit à 162,90.

Réponse : v₄ ≈ 162,90.

Contrôle : Le résultat doit être inférieur à 200 puisque la raison est comprise entre 0 et 1.

Exercice 3 — Calculer des termes successifs

Niveau : Récurrence · Temps conseillé : 7 min

On donne u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3. Calculer u₁, u₂ et u₃.

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On applique la relation à chaque terme : u₁ = 2 × 1 + 3 = 5 ; u₂ = 2 × 5 + 3 = 13 ; u₃ = 2 × 13 + 3 = 29. Il ne faut pas remplacer plusieurs fois uₙ par u₀.

Réponse : u₁ = 5, u₂ = 13, u₃ = 29.

Contrôle : Réinjecter chaque résultat dans la relation suivante.

Exercice 4 — Épargne mensuelle

Niveau : Modélisation · Temps conseillé : 10 min

Un compte contient 500 € au départ. On ajoute 40 € à la fin de chaque mois, sans intérêts. Exprimer le capital Cₙ après n mois et calculer C₁₂.

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L’ajout constant définit une suite arithmétique de terme initial C₀ = 500 et de raison 40. Donc Cₙ = 500 + 40n. Après douze mois, C₁₂ = 500 + 480 = 980 €. La mention « au départ » justifie l’indice 0.

Réponse : Cₙ = 500 + 40n ; C₁₂ = 980 €.

Contrôle : L’écart C₁₂ − C₀ doit valoir douze versements de 40 €.

Exercice 5 — Comparer deux croissances

Niveau : Synthèse · Temps conseillé : 12 min

On pose uₙ = 2n + 1 et vₙ = 2ⁿ. Calculer les termes de rang 0 à 5 et repérer quand vₙ devient strictement supérieur à uₙ.

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On obtient u : 1, 3, 5, 7, 9, 11 et v : 1, 2, 4, 8, 16, 32. Aux rangs 0 à 2, vₙ ≤ uₙ ; au rang 3, 8 > 7, puis l’écart augmente sur les rangs observés. La première occurrence est donc n = 3. Le tableau ne constitue toutefois pas, à lui seul, une preuve pour tous les rangs futurs.

Réponse : Premier rang : n = 3.

Contrôle : Comparer terme à terme et distinguer observation finie et preuve générale.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	u₅ = 22.	Lister 7, 10, 13, 16, 19, 22 pour contrôler.
2	v₄ ≈ 162,90.	Le résultat doit être inférieur à 200 puisque la raison est comprise entre 0 et 1.
3	u₁ = 5, u₂ = 13, u₃ = 29.	Réinjecter chaque résultat dans la relation suivante.
4	Cₙ = 500 + 40n ; C₁₂ = 980 €.	L’écart C₁₂ − C₀ doit valoir douze versements de 40 €.
5	Premier rang : n = 3.	Comparer terme à terme et distinguer observation finie et preuve générale.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.