Second degré en Première : exercices corrigés

Cette progression relie discriminant, forme canonique, signe et optimisation. Une résolution correcte ne s’arrête pas au calcul de Δ : elle interprète le nombre de racines et contrôle le signe du coefficient directeur.

Mode d’emploi : faites d’abord les exercices sans ouvrir les corrigés. Notez votre méthode, puis comparez chaque étape. En cas de blocage, reprenez la leçon complète sur second degré avant de recommencer.

Parcours conseillé

Les cinq exercices forment une progression. Les durées sont indicatives : dépasser le temps n’est pas un échec, mais révèle la méthode à retravailler.

Ex.	Niveau	Compétence	Temps
1	Application	Deux racines réelles	6 min
2	Méthode	Absence de racine réelle	6 min
3	Signe	Étudier un trinôme	9 min
4	Forme canonique	Lire le sommet	8 min
5	Modélisation	Aire maximale	12 min

Exercice 1 — Deux racines réelles

Niveau : Application · Temps conseillé : 6 min

Résoudre x² − 5x + 6 = 0.

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Ici a = 1, b = −5 et c = 6. Le discriminant vaut Δ = b² − 4ac = 25 − 24 = 1. Les racines sont (5 − 1)/2 = 2 et (5 + 1)/2 = 3. On retrouve aussi la factorisation (x − 2)(x − 3).

Réponse : S = {2 ; 3}.

Contrôle : La somme des racines vaut 5 et leur produit 6.

Exercice 2 — Absence de racine réelle

Niveau : Méthode · Temps conseillé : 6 min

Résoudre dans ℝ : 2x² + 4x + 5 = 0.

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Le discriminant vaut Δ = 4² − 4 × 2 × 5 = 16 − 40 = −24. Il est strictement négatif ; le trinôme n’a donc aucune racine réelle. Dans ℝ, l’ensemble des solutions est vide.

Réponse : S = ∅ dans ℝ.

Contrôle : Avec a > 0 et aucune racine, le trinôme reste strictement positif.

Exercice 3 — Étudier un trinôme

Niveau : Signe · Temps conseillé : 9 min

Étudier le signe de f(x) = −x² + 4x + 5.

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On résout f(x)=0. Le discriminant vaut 36 et les racines sont −1 et 5. Comme le coefficient de x² est négatif, le trinôme est positif entre les racines et négatif à l’extérieur. Il est nul en −1 et 5.

Réponse : f > 0 sur ]−1;5[, f < 0 à l’extérieur.

Contrôle : Tester x = 0 donne 5 > 0, ce qui confirme le signe entre les racines.

Exercice 4 — Lire le sommet

Niveau : Forme canonique · Temps conseillé : 8 min

Mettre x² − 6x + 2 sous forme canonique et donner le sommet de la parabole.

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On complète le carré : x² − 6x + 2 = (x − 3)² − 9 + 2 = (x − 3)² − 7. La forme canonique est donc (x − 3)² − 7. Le sommet a pour coordonnées S(3 ; −7), et −7 est le minimum.

Réponse : (x − 3)² − 7 ; S(3 ; −7).

Contrôle : Développer la forme obtenue pour retrouver le trinôme initial.

Exercice 5 — Aire maximale

Niveau : Modélisation · Temps conseillé : 12 min

Un rectangle a un périmètre de 20 m. Si un côté mesure x mètres, déterminer l’aire maximale.

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L’autre côté mesure 10 − x, avec 0 < x < 10. L’aire est A(x)=x(10−x)=−x²+10x. Sa forme canonique est A(x)=−(x−5)²+25. Comme le carré est positif ou nul, l’aire maximale vaut 25 m², atteinte pour x=5 : le rectangle est un carré.

Réponse : 25 m² pour x = 5 m.

Contrôle : Les deux côtés valent 5 m et le périmètre est bien 20 m.

Tableau de contrôle

Utilisez ce tableau seulement après une tentative complète. Une réponse juste sans justification ne valide pas un exercice de raisonnement.

Ex.	Résultat attendu	Vérification rapide
1	S = {2 ; 3}.	La somme des racines vaut 5 et leur produit 6.
2	S = ∅ dans ℝ.	Avec a > 0 et aucune racine, le trinôme reste strictement positif.
3	f > 0 sur ]−1;5[, f < 0 à l’extérieur.	Tester x = 0 donne 5 > 0, ce qui confirme le signe entre les racines.
4	(x − 3)² − 7 ; S(3 ; −7).	Développer la forme obtenue pour retrouver le trinôme initial.
5	25 m² pour x = 5 m.	Les deux côtés valent 5 m et le périmètre est bien 20 m.

Comment exploiter cette série

Refaites sous 48 heures tout exercice dont la correction vous a surpris. Une semaine plus tard, choisissez deux exercices sans regarder leur numéro ni leur niveau. Si la méthode revient sans aide et si le contrôle confirme le résultat, la compétence est en cours d’acquisition. Sinon, revenez à la leçon puis modifiez les données numériques pour éviter de mémoriser mécaniquement la réponse.