Variations de fonctions en Première : cours complet

Objectif : Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, déterminez le signe de sa dérivée. Une dérivée positive indique une fonction croissante ; une dérivée négative indique une fonction décroissante. À la fin, vous saurez choisir la bonne propriété, conduire un calcul lisible et repérer une réponse incohérente.

Comprendre la notion avant d’appliquer une formule

Le tableau de variations ne vient pas directement de la formule de f : il se construit à partir du domaine, des zéros et du signe de f’. Un point où f’ s’annule peut être un extremum, mais seulement si le signe de f’ change. Il faut calculer les valeurs de f aux bornes et aux points critiques pour compléter le tableau sans confondre abscisse et ordonnée.

Le programme de Première ne demande pas seulement de restituer une formule. Il faut passer d’une représentation à une autre, expliquer une démarche et vérifier le résultat. Dans un exercice, commencez donc par écrire les données, l’objet recherché et la propriété qui relie les deux. Cette phrase de préparation évite la plupart des calculs lancés sans direction.

Les notions et formules à maîtriser

Repère	Ce qu’il signifie
Croissance	f’ ≥ 0 sur un intervalle implique que f y est croissante.
Décroissance	f’ ≤ 0 sur un intervalle implique que f y est décroissante.
Point critique	Une solution de f’(x)=0 doit être examinée.
Extremum	Il apparaît lorsqu’un changement de sens de variation est établi.

Ce tableau sert de référence, mais une formule n’est valable que si ses conditions sont remplies. Avant de remplacer des lettres par des nombres, contrôlez le domaine, les signes, l’indice initial ou la population de référence selon le chapitre. Conservez les valeurs exactes pendant le calcul et n’arrondissez qu’à la fin si le contexte l’exige.

Une méthode en quatre étapes pour résoudre les exercices

Étape	Action	Contrôle attendu
1	Domaine	Commencer par les valeurs de x pour lesquelles f est définie.
2	Dérivée	Calculer puis factoriser f’ si cela facilite le signe.
3	Signe	Construire le tableau de signe de f’ avec les points critiques.
4	Valeurs	Calculer f aux points nécessaires avant de conclure.

Une rédaction efficace sépare les étapes : propriété utilisée, calcul, conclusion. Le résultat doit être accompagné de son sens. Une valeur numérique sans phrase finale peut être exacte mais ne répond pas complètement à une question de variation, de probabilité, de géométrie ou de modélisation.

Exemple corrigé pas à pas

Énoncé. Étudier les variations de f(x)=x³−3x sur ℝ et déterminer ses extremums locaux.

f’(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1).
La dérivée est positive sur ]−∞;−1[ et ]1;+∞[, négative sur ]−1;1[.
f est croissante, puis décroissante, puis croissante.
f(−1)=2 est un maximum local et f(1)=−2 est un minimum local.

Contrôle rapide : reprenez le résultat par une seconde voie simple : substitution, signe, ordre de grandeur, lecture graphique ou somme des probabilités. Ce contrôle n’est pas une décoration ; il détecte une erreur de signe, d’indice ou de population avant la conclusion.

Les erreurs qui font perdre des points

Étudier le signe de f au lieu de celui de f’.
Conclure à un extremum dès que f’ s’annule sans vérifier le changement de signe.
Oublier le domaine ou une valeur interdite.
Mettre les valeurs de f’ dans la dernière ligne du tableau de variations.

Pour corriger durablement une erreur, notez sa cause et non seulement la bonne réponse. Écrivez par exemple « j’ai utilisé la réciproque sans la prouver » ou « j’ai changé de population de référence ». Une trace précise permet de reconnaître la même erreur dans un autre exercice, même lorsque les nombres changent.

Exercice d’application immédiate

Une fonction vérifie f’<0 sur ]−∞;2[ et f’>0 sur ]2;+∞[. Que peut-on conclure en x=2 ?

Afficher la correction

La fonction décroît puis croît. Si elle est définie en 2, f(2) est un minimum local, et même global sur le domaine décrit.

Refaites ensuite le calcul sans regarder. Si vous retrouvez seulement la réponse finale, l’apprentissage reste fragile : vous devez pouvoir justifier la propriété choisie et le contrôle effectué.

Réviser avec la carte mentale associée

Utilisez la carte mentale « Variations de fonctions en Première » après le cours, pas avant. Cachez les branches, restituez les formules et associez à chacune une condition d’emploi. Revenez ensuite à l’exemple corrigé et modifiez une donnée : cette variation oblige à comprendre la méthode au lieu de mémoriser une suite de symboles.

Ce que cette leçon couvre — et ce qu’elle ne remplace pas

Cette leçon couvre les connaissances et gestes essentiels attendus dans le programme de spécialité de Première applicable à la rentrée 2026. Elle ne remplace pas une série progressive d’exercices ni les démonstrations demandées par votre professeur. Pour préparer l’épreuve anticipée, entraînez aussi les automatismes sans calculatrice et les problèmes où plusieurs chapitres sont mobilisés ensemble.

Sources principales

Programme et ressources vérifiés le 24 septembre 2026.

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