Ensembles et logique en Première : cours et exercices corrigés

Comprendre la notion avant d’appliquer une formule

Un ensemble regroupe des objets appelés éléments. Écrire x ∈ A affirme que x appartient à A ; écrire A ⊂ B affirme que chaque élément de A appartient à B. Une implication P ⇒ Q ne garantit pas sa réciproque Q ⇒ P. Pour réfuter une affirmation universelle, un contre-exemple suffit ; pour la prouver, il faut traiter tous les cas couverts par l’hypothèse.

Le programme de Première ne demande pas seulement de restituer une formule. Il faut passer d’une représentation à une autre, expliquer une démarche et vérifier le résultat. Dans un exercice, commencez donc par écrire les données, l’objet recherché et la propriété qui relie les deux. Cette phrase de préparation évite la plupart des calculs lancés sans direction.

Les notions et formules à maîtriser

Ce tableau sert de référence, mais une formule n’est valable que si ses conditions sont remplies. Avant de remplacer des lettres par des nombres, contrôlez le domaine, les signes, l’indice initial ou la population de référence selon le chapitre. Conservez les valeurs exactes pendant le calcul et n’arrondissez qu’à la fin si le contexte l’exige.

Une méthode en quatre étapes pour résoudre les exercices

Une rédaction efficace sépare les étapes : propriété utilisée, calcul, conclusion. Le résultat doit être accompagné de son sens. Une valeur numérique sans phrase finale peut être exacte mais ne répond pas complètement à une question de variation, de probabilité, de géométrie ou de modélisation.

Exemple corrigé pas à pas

Énoncé. On affirme : « Si un entier n est multiple de 4, alors n est pair. » Prouvez l’implication, examinez sa réciproque et écrivez la contraposée.

1. Écrire n = 4k avec k entier. Alors n = 2(2k), donc n est pair.
2. La réciproque est fausse : 6 est pair mais n’est pas multiple de 4.
3. La contraposée est : si n n’est pas pair, alors n n’est pas multiple de 4.
4. La contraposée est logiquement équivalente à l’implication initiale.

Les erreurs qui font perdre des points

• Employer ∈ entre deux ensembles au lieu de ⊂.
• Croire qu’une implication rend automatiquement vraie sa réciproque.
• Donner plusieurs exemples favorables à la place d’une preuve générale.
• Nier « tous » par « aucun » au lieu de « il existe au moins un… qui ne… pas ».

Pour corriger durablement une erreur, notez sa cause et non seulement la bonne réponse. Écrivez par exemple « j’ai utilisé la réciproque sans la prouver » ou « j’ai changé de population de référence ». Une trace précise permet de reconnaître la même erreur dans un autre exercice, même lorsque les nombres changent.

Exercice d’application immédiate

Soient A = {1,2,3} et B = {1,2,3,4}. Décidez si 3 ∈ A, A ⊂ B et B ⊂ A.

Réviser avec la carte mentale associée

Utilisez la carte mentale « Ensembles et logique en Première » après le cours, pas avant. Cachez les branches, restituez les formules et associez à chacune une condition d’emploi. Revenez ensuite à l’exemple corrigé et modifiez une donnée : cette variation oblige à comprendre la méthode au lieu de mémoriser une suite de symboles.

Ce que cette leçon couvre — et ce qu’elle ne remplace pas

Cette leçon couvre les connaissances et gestes essentiels attendus dans le programme de spécialité de Première applicable à la rentrée 2026. Elle ne remplace pas une série progressive d’exercices ni les démonstrations demandées par votre professeur. Pour préparer l’épreuve anticipée, entraînez aussi les automatismes sans calculatrice et les problèmes où plusieurs chapitres sont mobilisés ensemble.