Probabilités conditionnelles en Première : cours et exercices corrigés

Comprendre la notion avant d’appliquer une formule

Si P(B)>0, la probabilité de A sachant B est P_B(A)=P(A∩B)/P(B). On en déduit P(A∩B)=P(B)P_B(A). Dans un arbre pondéré, les probabilités d’une branche se multiplient et les chemins incompatibles correspondant au même événement s’additionnent. A et B sont indépendants lorsque P(A∩B)=P(A)P(B).

Le programme de Première ne demande pas seulement de restituer une formule. Il faut passer d’une représentation à une autre, expliquer une démarche et vérifier le résultat. Dans un exercice, commencez donc par écrire les données, l’objet recherché et la propriété qui relie les deux. Cette phrase de préparation évite la plupart des calculs lancés sans direction.

Les notions et formules à maîtriser

Ce tableau sert de référence, mais une formule n’est valable que si ses conditions sont remplies. Avant de remplacer des lettres par des nombres, contrôlez le domaine, les signes, l’indice initial ou la population de référence selon le chapitre. Conservez les valeurs exactes pendant le calcul et n’arrondissez qu’à la fin si le contexte l’exige.

Une méthode en quatre étapes pour résoudre les exercices

Une rédaction efficace sépare les étapes : propriété utilisée, calcul, conclusion. Le résultat doit être accompagné de son sens. Une valeur numérique sans phrase finale peut être exacte mais ne répond pas complètement à une question de variation, de probabilité, de géométrie ou de modélisation.

Exemple corrigé pas à pas

Énoncé. 60 % des élèves pratiquent un sport. Parmi eux, 30 % participent à une compétition. Calculer la probabilité qu’un élève pratique un sport et participe à une compétition.

1. Noter S : « pratiquer un sport » et C : « participer à une compétition ».
2. On connaît P(S)=0,60 et P_S(C)=0,30.
3. La probabilité cherchée est P(S∩C)=P(S)×P_S(C).
4. Donc P(S∩C)=0,60×0,30=0,18, soit 18 %.

Les erreurs qui font perdre des points

• Confondre P_B(A) et P_A(B).
• Additionner les probabilités d’un même chemin au lieu de les multiplier.
• Déclarer deux événements indépendants parce qu’ils sont différents.
• Mélanger pourcentages et nombres décimaux dans un même calcul.

Pour corriger durablement une erreur, notez sa cause et non seulement la bonne réponse. Écrivez par exemple « j’ai utilisé la réciproque sans la prouver » ou « j’ai changé de population de référence ». Une trace précise permet de reconnaître la même erreur dans un autre exercice, même lorsque les nombres changent.

Exercice d’application immédiate

Si P(A)=0,4, P(B)=0,5 et P(A∩B)=0,2, les événements sont-ils indépendants ?

Réviser avec la carte mentale associée

Utilisez la carte mentale « Probabilités conditionnelles en Première » après le cours, pas avant. Cachez les branches, restituez les formules et associez à chacune une condition d’emploi. Revenez ensuite à l’exemple corrigé et modifiez une donnée : cette variation oblige à comprendre la méthode au lieu de mémoriser une suite de symboles.

Ce que cette leçon couvre — et ce qu’elle ne remplace pas

Cette leçon couvre les connaissances et gestes essentiels attendus dans le programme de spécialité de Première applicable à la rentrée 2026. Elle ne remplace pas une série progressive d’exercices ni les démonstrations demandées par votre professeur. Pour préparer l’épreuve anticipée, entraînez aussi les automatismes sans calculatrice et les problèmes où plusieurs chapitres sont mobilisés ensemble.