Mathématiques 4e – Leçon sur les puissances : règles, calculs et notations scientifiques

LES PUISSANCES : RÈGLES, CALCULS ET NOTATIONS SCIENTIFIQUES

QU’EST-CE QU’UNE PUISSANCE ?

Une puissance, c’est une manière rapide d’écrire un produit où un même nombre est multiplié plusieurs fois par lui-même. Par exemple :

• 2³ signifie 2 × 2 × 2, soit 8.
• 5⁴ signifie 5 × 5 × 5 × 5, soit 625.

Dans une puissance, on distingue :

• La base : le nombre qu’on multiplie (par exemple, 2 dans 2³).
• L’exposant : le nombre de fois qu’on multiplie la base (par exemple, 3 dans 2³).

LES RÈGLES DES PUISSANCES

Pour manipuler les puissances, il existe des règles très pratiques. Voici les principales :

MULTIPLICATION DE PUISSANCES DE MÊME BASE

Quand on multiplie des puissances qui ont la même base, on additionne les exposants :

a^m × aⁿ = a^m+n

Exemple : 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷, soit 128.

DIVISION DE PUISSANCES DE MÊME BASE

Quand on divise des puissances qui ont la même base, on soustrait les exposants :

a^m ÷ aⁿ = a^m-n

Exemple : 5⁶ ÷ 5² = 5^6-2 = 5⁴, soit 625.

PUISSANCE D’UNE PUISSANCE

Quand on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants :

(a^m)ⁿ = a^m×n

Exemple : (3²)³ = 3^2×3 = 3⁶, soit 729.

PUISSANCE DE 0

Tout nombre (sauf 0) élevé à la puissance 0 est égal à 1 :

a⁰ = 1

Exemple : 7⁰ = 1.

PUISSANCE NÉGATIVE

Une puissance avec un exposant négatif correspond à l’inverse de la puissance positive :

a^-n = 1 / aⁿ

Exemple : 2^-3 = 1 / 2³ = 1 / 8.

CALCULER AVEC LES PUISSANCES

Pour calculer avec des puissances, il faut bien respecter les règles ci-dessus. Voici quelques astuces :

• Simplifie les puissances avant de multiplier ou diviser.
• Attention aux signes : une base négative élevée à une puissance paire donne un résultat positif, mais à une puissance impaire, le résultat est négatif.

Exemple :

• (-3)² = (-3) × (-3) = 9
• (-3)³ = (-3) × (-3) × (-3) = -27

NOTATION SCIENTIFIQUE

La notation scientifique est une manière d’écrire des nombres très grands ou très petits en utilisant les puissances de 10.

Un nombre en notation scientifique s’écrit sous la forme :

a × 10ⁿ, où :

• a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (1 ≤ a < 10).
• n est un entier (positif ou négatif).

Exemples :

• 123 000 en notation scientifique devient 1,23 × 10⁵.
• 0,000045 en notation scientifique devient 4,5 × 10^-5.

COMMENT PASSER EN NOTATION SCIENTIFIQUE ?

1. Place la virgule après le premier chiffre non nul.
2. Compte combien de places tu as déplacé la virgule :
• Si tu déplaces vers la gauche, l’exposant est positif.
• Si tu déplaces vers la droite, l’exposant est négatif.

Exemple :

• Pour 45 600, on déplace la virgule de 4 places vers la gauche : 4,56 × 10⁴.
• Pour 0,00789, on déplace la virgule de 3 places vers la droite : 7,89 × 10^-3.

ASTUCES À RETENIR

• Une puissance, c’est une multiplication répétée.
• Apprends bien les règles des puissances (addition, soustraction, multiplication des exposants).
• La notation scientifique est très utile pour simplifier les calculs avec des nombres très grands ou très petits.

EXERCICES POUR S’ENTRAÎNER

Simplifie les expressions suivantes :

• 3² × 3⁴
• 5⁶ ÷ 5³
• (2³)²

Écris les nombres suivants en notation scientifique :

• 78 000
• 0,00032

Calcule :

• (-4)²
• (-2)³

Bonne chance et amuse-toi avec les puissances !