Mathématiques – 3e – Le théorème de Pythagore : démonstration et exercices (Carte mentale)

Les sous-thématiques à maîtriser :

• Comprendre le théorème de Pythagore
• Identifier un triangle rectangle
• Appliquer le théorème de Pythagore
• Résoudre des exercices inverses
• Démonstration du théorème

Comprendre le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans les triangles rectangles ( très important !). Il dit que : « Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »

Formule : a² + b² = c²

• a et b : les longueurs des deux côtés adjacents à l’angle droit.
• c : la longueur de l’hypoténuse (le plus long côté, en face de l’angle droit).

Astuce : L’hypoténuse est toujours le côté le plus long !

Identifier un triangle rectangle

Avant d’appliquer le théorème, il faut vérifier si le triangle est rectangle.

• Un triangle est rectangle si l’un de ses angles mesure 90°.
• Si l’énoncé ne précise pas qu’il est rectangle, utilisez la réciproque du théorème de Pythagore (voir plus bas).

Conseil : Cherchez toujours l’angle droit dans la figure donnée !

Appliquer le théorème de Pythagore

Une fois que vous avez identifié un triangle rectangle, suivez ces étapes :

1. Identifiez l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit).
2. Remplissez la formule : a² + b² = c².
3. Calculez les carrés des longueurs des deux côtés adjacents.
4. Additionnez-les pour trouver le carré de l’hypoténuse.
5. Prenez la racine carrée pour trouver la longueur de l’hypoténuse.

Exemple : Si a = 3 cm et b = 4 cm, alors c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc c = √25 = 5 cm.

Résoudre des exercices inverses

Parfois, on vous demande de vérifier si un triangle est rectangle. Dans ce cas, utilisez la réciproque du théorème de Pythagore :

• Calculez a² + b² (les carrés des deux plus petits côtés).
• Comparez avec c² (le carré du plus grand côté).
• Si a² + b² = c², alors le triangle est rectangle.
• Sinon, il ne l’est pas.

Exemple : Si a = 6 cm, b = 8 cm et c = 10 cm, vérifiez : 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc c² = 100. Le triangle est rectangle !

Démonstration du théorème

La démonstration du théorème de Pythagore repose sur des propriétés géométriques. Voici une méthode simple :

• Tracez un carré dont chaque côté mesure a + b.
• À l’intérieur, placez quatre triangles rectangles identiques.
• Calculez l’aire totale du carré et comparez-la avec la somme des aires des triangles et de l’hypoténuse.

Cette méthode montre que l’aire de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des aires des deux autres côtés au carré.

Points clés à retenir :

• Le théorème de Pythagore s’applique uniquement aux triangles rectangles.
• La formule est : a² + b² = c².
• L’hypoténuse est toujours le côté le plus long.
• Utilisez la réciproque pour vérifier si un triangle est rectangle.

Exercices pratiques :

1. Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?
2. Dans un triangle rectangle, les deux côtés adjacents mesurent 7 cm et 24 cm. Quelle est la longueur de l’hypoténuse ?
3. Un triangle a pour côtés 8 cm, 15 cm et 17 cm. Vérifiez s’il est rectangle.