Mathématiques – 3e – Les identités remarquables : application et démonstration

📚 LES IDENTITÉS REMARQUABLES : APPLICATION ET DÉMONSTRATION

Bienvenue dans cette leçon sur les Identités Remarquables ! Ces formules magiques des mathématiques vont te permettre de simplifier des calculs, de factoriser et de développer des expressions algébriques. Prêt(e) ? C’est parti ! 🚀

🌟 LES TROIS IDENTITÉS REMARQUABLES À CONNAÎTRE ABSOLUMENT

En classe de 3e, tu dois mémoriser et savoir utiliser ces trois identités remarquables :

• 1. Le carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b²
• 2. Le carré d’une différence : (a - b)² = a² - 2ab + b²
• 3. La différence de deux carrés : (a + b)(a - b) = a² - b²

Ces formules sont comme des outils dans une boîte à outils 🛠️ : elles te permettent de manipuler les expressions algébriques plus facilement.

🔍 DÉTAILS ET DÉMONSTRATIONS

1️⃣ Le carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Cette identité signifie que si tu prends la somme de deux termes a et b, et que tu la mets au carré, tu obtiens :

• Le carré du premier terme : a²
• Deux fois le produit des deux termes : 2ab
• Le carré du deuxième terme : b²

Exemple : Si a = 3 et b = 4, alors :

(3 + 4)² = 3² + 2 × 3 × 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49 ✅

2️⃣ Le carré d’une différence : (a - b)² = a² - 2ab + b²

C’est très similaire au carré d’une somme, sauf qu’ici, on soustrait les termes. Tu obtiens :

• Le carré du premier terme : a²
• Deux fois le produit des deux termes, mais avec un signe négatif : -2ab
• Le carré du deuxième terme : b²

Exemple : Si a = 5 et b = 2, alors :

(5 - 2)² = 5² - 2 × 5 × 2 + 2² = 25 - 20 + 4 = 9 ✅

3️⃣ La différence de deux carrés : (a + b)(a - b) = a² - b²

Cette identité est un peu différente. Elle te dit que si tu multiplies la somme et la différence de deux termes, tu obtiens :

• Le carré du premier terme : a²
• Moins le carré du deuxième terme : -b²

Exemple : Si a = 6 et b = 3, alors :

(6 + 3)(6 - 3) = 6² - 3² = 36 - 9 = 27 ✅

🛠️ APPLICATIONS DES IDENTITÉS REMARQUABLES

Les identités remarquables sont utilisées dans plusieurs situations :

1️⃣ Développement

Quand tu vois une expression comme (x + 2)², tu peux la développer grâce à l’identité (a + b)² = a² + 2ab + b². Par exemple :

(x + 2)² = x² + 2 × x × 2 + 2² = x² + 4x + 4

2️⃣ Factorisation

Quand tu vois une expression comme x² - 9, tu peux la factoriser grâce à l’identité (a + b)(a - b) = a² - b². Par exemple :

x² - 9 = (x + 3)(x - 3)

3️⃣ Résolution d’équations

Les identités remarquables te permettent de simplifier des équations pour les résoudre plus facilement. Par exemple :

(x + 2)² = 16 devient x² + 4x + 4 = 16, puis x² + 4x - 12 = 0.

✨ ASTUCES POUR BIEN LES UTILISER

• 🧠 Mémorise les trois identités en les répétant régulièrement.
• 👀 Repère les formes dans les exercices : est-ce un carré d’une somme, d’une différence, ou une différence de carrés ?
• ✍️ Pratique, pratique, pratique ! Fais des exercices pour t’entraîner à les reconnaître et les appliquer.

💡 À RETENIR

Les trois identités remarquables sont :

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a - b)² = a² - 2ab + b²
• (a + b)(a - b) = a² - b²

Elles te permettent de développer, factoriser et résoudre des équations plus facilement. 🚀

🎯 EXERCICES POUR T’ENTRAÎNER

1️⃣ Développe les expressions suivantes :

• (x + 5)²
• (2a - 3)²
• (y + 4)(y - 4)

2️⃣ Factorise les expressions suivantes :

• x² - 16
• 9a² - 25
• 4y² - 36

3️⃣ Résous les équations suivantes :

• (x + 3)² = 49
• (2a - 5)(2a + 5) = 0

Et voilà, tu es prêt(e) à briller en maths avec les identités remarquables ! 🌟