Géométrie repérée en Première : cours complet

Objectif : La géométrie repérée traduit les propriétés du plan en calculs de coordonnées. Les outils essentiels sont les vecteurs, la distance, le milieu et les équations de droites. À la fin, vous saurez choisir la bonne propriété, conduire un calcul lisible et repérer une réponse incohérente.

Comprendre la notion avant d’appliquer une formule

Si A(xA;yA) et B(xB;yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB−xA ; yB−yA). Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2). Dans un repère orthonormé, AB²=(xB−xA)²+(yB−yA)². Une droite peut être décrite par une équation cartésienne ax+by+c=0, où (a;b) est un vecteur normal.

Le programme de Première ne demande pas seulement de restituer une formule. Il faut passer d’une représentation à une autre, expliquer une démarche et vérifier le résultat. Dans un exercice, commencez donc par écrire les données, l’objet recherché et la propriété qui relie les deux. Cette phrase de préparation évite la plupart des calculs lancés sans direction.

Les notions et formules à maîtriser

Repère	Ce qu’il signifie
Vecteur	AB=(xB−xA ; yB−yA).
Milieu	I((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2).
Distance	AB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²].
Droite	ax+by+c=0 avec (a;b) normal à la droite.

Ce tableau sert de référence, mais une formule n’est valable que si ses conditions sont remplies. Avant de remplacer des lettres par des nombres, contrôlez le domaine, les signes, l’indice initial ou la population de référence selon le chapitre. Conservez les valeurs exactes pendant le calcul et n’arrondissez qu’à la fin si le contexte l’exige.

Une méthode en quatre étapes pour résoudre les exercices

Étape	Action	Contrôle attendu
1	Traduire	Associer la propriété géométrique à une égalité de coordonnées.
2	Calculer	Conserver les différences entre parenthèses avant le carré.
3	Résoudre	Déterminer l’inconnue ou vérifier l’équation obtenue.
4	Contrôler	Substituer les coordonnées des points dans l’équation.

Une rédaction efficace sépare les étapes : propriété utilisée, calcul, conclusion. Le résultat doit être accompagné de son sens. Une valeur numérique sans phrase finale peut être exacte mais ne répond pas complètement à une question de variation, de probabilité, de géométrie ou de modélisation.

Exemple corrigé pas à pas

Énoncé. Déterminer une équation de la droite passant par A(1;2) et B(3;−2).

Un vecteur directeur est AB=(2;−4), que l’on peut simplifier en (1;−2).
Un vecteur normal est alors n=(2;1), car (1;−2)·(2;1)=0.
La droite a une équation 2x+y+c=0. Avec A, 2+2+c=0, donc c=−4.
Une équation est 2x+y−4=0 ; B la vérifie : 6−2−4=0.

Contrôle rapide : reprenez le résultat par une seconde voie simple : substitution, signe, ordre de grandeur, lecture graphique ou somme des probabilités. Ce contrôle n’est pas une décoration ; il détecte une erreur de signe, d’indice ou de population avant la conclusion.

Les erreurs qui font perdre des points

Calculer AB en faisant A−B au lieu de B−A puis changer de convention en cours de route.
Utiliser la formule de distance sans repère orthonormé.
Confondre vecteur directeur et vecteur normal.
Ne tester qu’un seul point dans une équation de droite construite à partir de deux points.

Pour corriger durablement une erreur, notez sa cause et non seulement la bonne réponse. Écrivez par exemple « j’ai utilisé la réciproque sans la prouver » ou « j’ai changé de population de référence ». Une trace précise permet de reconnaître la même erreur dans un autre exercice, même lorsque les nombres changent.

Exercice d’application immédiate

Calculez le milieu de A(−2;5) et B(4;−1).

Afficher la correction

Le milieu est I((−2+4)/2 ; (5−1)/2), donc I(1;2).

Refaites ensuite le calcul sans regarder. Si vous retrouvez seulement la réponse finale, l’apprentissage reste fragile : vous devez pouvoir justifier la propriété choisie et le contrôle effectué.

Réviser avec la carte mentale associée

Utilisez la carte mentale « Géométrie repérée en Première » après le cours, pas avant. Cachez les branches, restituez les formules et associez à chacune une condition d’emploi. Revenez ensuite à l’exemple corrigé et modifiez une donnée : cette variation oblige à comprendre la méthode au lieu de mémoriser une suite de symboles.

Ce que cette leçon couvre — et ce qu’elle ne remplace pas

Cette leçon couvre les connaissances et gestes essentiels attendus dans le programme de spécialité de Première applicable à la rentrée 2026. Elle ne remplace pas une série progressive d’exercices ni les démonstrations demandées par votre professeur. Pour préparer l’épreuve anticipée, entraînez aussi les automatismes sans calculatrice et les problèmes où plusieurs chapitres sont mobilisés ensemble.

Sources principales

Programme et ressources vérifiés le 24 septembre 2026.

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