Second degré en Première : cours complet

Objectif : Pour traiter un trinôme ax² + bx + c, choisissez la forme adaptée à la question : développée pour lire les coefficients, factorisée pour les zéros et le signe, canonique pour le sommet et les variations. À la fin, vous saurez choisir la bonne propriété, conduire un calcul lisible et repérer une réponse incohérente.

Comprendre la notion avant d’appliquer une formule

Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de racines réelles. Si Δ > 0, les racines sont (-b − √Δ)/(2a) et (-b + √Δ)/(2a). Si Δ = 0, la racine double vaut -b/(2a). Si Δ < 0, il n’existe pas de racine réelle. Le signe du trinôme est celui de a à l’extérieur des racines et son opposé entre elles.

Le programme de Première ne demande pas seulement de restituer une formule. Il faut passer d’une représentation à une autre, expliquer une démarche et vérifier le résultat. Dans un exercice, commencez donc par écrire les données, l’objet recherché et la propriété qui relie les deux. Cette phrase de préparation évite la plupart des calculs lancés sans direction.

Les notions et formules à maîtriser

Repère	Ce qu’il signifie
Forme développée	ax² + bx + c montre a, b et c.
Discriminant	Δ = b² − 4ac détermine les racines réelles.
Forme factorisée	a(x − x₁)(x − x₂) rend les zéros visibles.
Forme canonique	a(x − α)² + β donne le sommet S(α;β).

Ce tableau sert de référence, mais une formule n’est valable que si ses conditions sont remplies. Avant de remplacer des lettres par des nombres, contrôlez le domaine, les signes, l’indice initial ou la population de référence selon le chapitre. Conservez les valeurs exactes pendant le calcul et n’arrondissez qu’à la fin si le contexte l’exige.

Une méthode en quatre étapes pour résoudre les exercices

Étape	Action	Contrôle attendu
1	Identifier	Relever a, b et c avec leurs signes.
2	Calculer	Évaluer Δ avant de choisir la formule des racines.
3	Transformer	Factoriser ou écrire la forme canonique selon la question.
4	Contrôler	Vérifier les racines par substitution et la somme x₁+x₂ = -b/a.

Une rédaction efficace sépare les étapes : propriété utilisée, calcul, conclusion. Le résultat doit être accompagné de son sens. Une valeur numérique sans phrase finale peut être exacte mais ne répond pas complètement à une question de variation, de probabilité, de géométrie ou de modélisation.

Exemple corrigé pas à pas

Énoncé. Résoudre 2x² − 5x − 3 = 0 puis déterminer le signe du trinôme.

a = 2, b = -5 et c = -3, donc Δ = 25 + 24 = 49.
Les racines sont (5−7)/4 = -1/2 et (5+7)/4 = 3.
Le coefficient a est positif : le trinôme est positif à l’extérieur des racines.
Il est donc négatif sur ]-1/2;3[ et nul aux deux racines.

Contrôle rapide : reprenez le résultat par une seconde voie simple : substitution, signe, ordre de grandeur, lecture graphique ou somme des probabilités. Ce contrôle n’est pas une décoration ; il détecte une erreur de signe, d’indice ou de population avant la conclusion.

Les erreurs qui font perdre des points

Oublier le signe de b dans le calcul de Δ.
Diviser par 2 au lieu de 2a dans la formule des racines.
Inverser le signe intérieur et extérieur du tableau.
Utiliser le discriminant lorsque la factorisation immédiate est plus simple.

Pour corriger durablement une erreur, notez sa cause et non seulement la bonne réponse. Écrivez par exemple « j’ai utilisé la réciproque sans la prouver » ou « j’ai changé de population de référence ». Une trace précise permet de reconnaître la même erreur dans un autre exercice, même lorsque les nombres changent.

Exercice d’application immédiate

Pour f(x)=x²−6x+5, trouvez les racines et l’abscisse du sommet.

Afficher la correction

Δ = 16, donc les racines sont 1 et 5. L’abscisse du sommet est -b/(2a)=3, également milieu des deux racines.

Refaites ensuite le calcul sans regarder. Si vous retrouvez seulement la réponse finale, l’apprentissage reste fragile : vous devez pouvoir justifier la propriété choisie et le contrôle effectué.

Réviser avec la carte mentale associée

Utilisez la carte mentale « Second degré en Première » après le cours, pas avant. Cachez les branches, restituez les formules et associez à chacune une condition d’emploi. Revenez ensuite à l’exemple corrigé et modifiez une donnée : cette variation oblige à comprendre la méthode au lieu de mémoriser une suite de symboles.

Ce que cette leçon couvre — et ce qu’elle ne remplace pas

Cette leçon couvre les connaissances et gestes essentiels attendus dans le programme de spécialité de Première applicable à la rentrée 2026. Elle ne remplace pas une série progressive d’exercices ni les démonstrations demandées par votre professeur. Pour préparer l’épreuve anticipée, entraînez aussi les automatismes sans calculatrice et les problèmes où plusieurs chapitres sont mobilisés ensemble.

Sources principales

Programme et ressources vérifiés le 24 septembre 2026.

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