🧮 Mathématiques – Seconde : Les vecteurs (calcul vectoriel, colinéarité) 🧮
🌟 Les notions essentielles 🌟
- Vecteur : Un vecteur est un objet mathématique défini par une direction, un sens et une norme (longueur). 🏹
- Représentation : Un vecteur est souvent représenté par une flèche sur un plan ou dans l’espace. Exemple : vecteur AB (noté →AB) part du point A et arrive au point B. ✏️
📌 Sous-thématiques à maîtriser 📌
1️⃣ Définition et propriétés des vecteurs
- Égalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. 🟰
- Vecteur nul : Le vecteur nul (noté →0) a une norme de 0. Il n’a ni direction ni sens. Il est comme un point immobile. 🛑
2️⃣ Opérations sur les vecteurs (calcul vectoriel)
- Addition de vecteurs : La somme de deux vecteurs →u et →v donne un nouveau vecteur obtenu par la règle du parallélogramme ou par la méthode « bout à bout ». ➕
- Exemple : Si →AB et →BC sont deux vecteurs, alors →AB + →BC = →AC.
- Soustraction de vecteurs : Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé. Exemple : →u – →v = →u + ( -→v ). ➖
- Multiplication par un scalaire : Multiplier un vecteur par un nombre (appelé scalaire) modifie sa norme sans changer sa direction (sauf si le scalaire est négatif, auquel cas le sens change). ✖️
- Exemple : Si →u a une norme de 3 et on le multiplie par 2, le nouveau vecteur a une norme de 6.
3️⃣ Colinéarité de deux vecteurs
- Définition : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction ou si l’un est un multiple de l’autre. Cela signifie qu’ils sont alignés sur une même droite ou une droite parallèle. 📏
- Critère de colinéarité : Si deux vecteurs →u et →v sont colinéaires, alors il existe un scalaire k tel que →u = k × →v. Exemple : Si →u = (2, 4) et →v = (1, 2), alors →u = 2 × →v, donc ils sont colinéaires. ✅
4️⃣ Applications pratiques
- Coordonnées d’un vecteur : Si un vecteur →AB est défini par deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂), alors ses coordonnées sont (x₂ – x₁, y₂ – y₁). 🗺️
- Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur →u(x, y) est donnée par la formule : ||→u|| = √(x² + y²). Exemple : Si →u = (3, 4), alors ||→u|| = √(3² + 4²) = 5. 📐
🚀 À retenir absolument ! 🚀
- Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme. 🏹
- Deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont alignés ou si l’un est un multiple de l’autre. 📏
- Les opérations sur les vecteurs (addition, soustraction, multiplication par un scalaire) respectent des règles précises. ➕➖✖️
- Les coordonnées et la norme d’un vecteur permettent de le manipuler facilement dans un repère. 🗺️
🎯 Astuces pour réussir 🎯
- Utilise des dessins pour visualiser les vecteurs et leurs opérations. 🖍️
- Apprends par cœur les formules de coordonnées et de norme. 📚
- Entraîne-toi avec des exercices concrets pour bien comprendre la colinéarité. 🏋️
