📐 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE : DROITES, CERCLES, ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
🔍 INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
La géométrie analytique relie deux mondes : celui de la géométrie (les figures, les droites, les cercles) et celui de l’algèbre (les équations). Grâce à un système de coordonnées, comme le fameux repère cartésien, on peut décrire des objets géométriques avec des équations. Magique, non ? ✨
📏 1. LES DROITES DANS UN REPÈRE CARTÉSIEN
Une droite dans un repère cartésien peut être représentée par une équation de la forme :
y = mx + p
- m : le coefficient directeur, qui indique la pente de la droite (si elle monte ou descend).
- p : l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire le point où la droite coupe l’axe des ordonnées (l’axe vertical).
👉 Exemple : Si l’équation est y = 2x + 3 :
- Le coefficient directeur m = 2 signifie que la droite monte (pour chaque pas de 1 sur l’axe des abscisses, on monte de 2 sur l’axe des ordonnées).
- L’ordonnée à l’origine p = 3 signifie que la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0, 3).
🛠️ COMMENT TROUVER L’ÉQUATION D’UNE DROITE ?
Pour déterminer l’équation d’une droite, il faut :
- Connaître un point de la droite (par exemple, A(x₁, y₁)).
- Connaître son coefficient directeur m, que l’on calcule avec deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) :
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
👉 Une fois que tu as m, utilise la formule y – y₁ = m(x – x₁) pour trouver l’équation de la droite.
⚪ 2. LES CERCLES DANS UN REPÈRE CARTÉSIEN
Un cercle dans un repère cartésien est défini par son centre et son rayon. Son équation est :
(x – a)² + (y – b)² = r²
- (a, b) : les coordonnées du centre du cercle.
- r : le rayon du cercle.
👉 Exemple : Si l’équation est (x – 2)² + (y – 3)² = 16 :
- Le centre du cercle est (2, 3).
- Le rayon est √16 = 4.
🔄 COMMENT VÉRIFIER SI UN POINT APPARTIENT À UN CERCLE ?
Pour vérifier si un point P(x₀, y₀) appartient à un cercle, remplace x par x₀ et y par y₀ dans l’équation du cercle :
- Si l’égalité est vérifiée, le point est sur le cercle.
- Sinon, il est à l’extérieur ou à l’intérieur.
📊 3. ÉQUATIONS CARTÉSIENNES ET OBJETS GÉOMÉTRIQUES
Les équations cartésiennes permettent de décrire différents objets géométriques :
- Les droites : y = mx + p
- Les cercles : (x – a)² + (y – b)² = r²
- Les paraboles (plus tard !) : y = ax² + bx + c
👉 Ces équations sont comme des « cartes d’identité » des objets géométriques. Elles permettent de les tracer, de les analyser et de résoudre des problèmes.
🚀 ASTUCES POUR RÉUSSIR
- 📌 Apprends par cœur les formules importantes (équation de la droite, équation du cercle).
- 📈 Entraîne-toi à tracer des droites et des cercles à partir de leurs équations.
- 🧮 Vérifie toujours tes calculs, surtout pour les coefficients directeurs et les rayons.
- 🖍️ Utilise des couleurs pour mieux visualiser les objets géométriques sur un repère.
💡 À RETENIR
✔️ Une droite est définie par son coefficient directeur m et son ordonnée à l’origine p.
✔️ Un cercle est défini par son centre (a, b) et son rayon r.
✔️ Les équations cartésiennes sont des outils puissants pour décrire et analyser des objets géométriques.
🎯 EXERCICE POUR S’ENTRAÎNER
1. Trouve l’équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 6).
2. Écris l’équation du cercle de centre (0, 0) et de rayon 5.
3. Vérifie si le point P(2, 3) appartient au cercle d’équation (x – 1)² + (y – 2)² = 25.
Bonne chance, jeune géomètre ! 🚀