Mathématiques – 4e – Les fractions et opérations avec les nombres rationnels

📚 LES FRACTIONS ET LES NOMBRES RATIONNELS : TOUT CE QU’IL FAUT SAVOIR EN 4E !

🔢 1. Qu’est-ce qu’une fraction ?

Une fraction est une manière de représenter une partie d’un tout. Elle est composée de deux parties :

• Le numérateur (en haut) : il indique combien de parts on prend.
• Le dénominateur (en bas) : il indique en combien de parts le tout est divisé.

Exemple : 3/4 signifie que l’on prend 3 parts sur un total de 4 parts.

👉 Une fraction peut représenter un nombre plus petit que 1 (comme 1/2), égal à 1 (comme 4/4), ou plus grand que 1 (comme 5/3).

🧠 2. Les nombres rationnels, c’est quoi ?

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction a/b, où :

• a est un nombre entier (le numérateur).
• b est un nombre entier non nul (le dénominateur).

Exemples de nombres rationnels :

• 1/2, -3/4, 7 (car 7 peut s’écrire 7/1).

👉 Tous les nombres entiers et toutes les fractions sont des nombres rationnels.

✏️ 3. Simplifier une fraction

Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).

Exemple : Simplifions 12/16.

• Le PGCD de 12 et 16 est 4.
• On divise le numérateur et le dénominateur par 4 : 12 ÷ 4 = 3 et 16 ÷ 4 = 4.
• Résultat : 12/16 = 3/4.

👉 Une fraction est dite irréductible lorsqu’elle ne peut plus être simplifiée.

➕➖✖️➗ 4. Les opérations avec les fractions

🔹 Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur. Si ce n’est pas le cas, on les met au même dénominateur en trouvant le plus petit commun multiple (PPCM).

Exemple : 1/3 + 1/4

• Le PPCM de 3 et 4 est 12.
• On réécrit les fractions avec 12 comme dénominateur : 1/3 = 4/12 et 1/4 = 3/12.
• On additionne les numérateurs : 4/12 + 3/12 = 7/12.

🔹 Multiplication

Pour multiplier deux fractions, c’est très simple : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemple : 2/3 × 4/5

• Numérateur : 2 × 4 = 8
• Dénominateur : 3 × 5 = 15
• Résultat : 2/3 × 4/5 = 8/15

🔹 Division

Pour diviser deux fractions, on multiplie la première fraction par l’inverse de la deuxième.

Exemple : 2/3 ÷ 4/5

• Inverse de 4/5 : 5/4.
• On multiplie : 2/3 × 5/4.
• Numérateur : 2 × 5 = 10
• Dénominateur : 3 × 4 = 12
• Résultat : 2/3 ÷ 4/5 = 10/12, que l’on peut simplifier en 5/6.

🔄 5. Passer d’une fraction à un nombre décimal

Pour transformer une fraction en nombre décimal, il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Exemple : 3/4

• On calcule : 3 ÷ 4 = 0,75.

👉 Certaines fractions donnent des nombres décimaux finis (comme 3/4 = 0,75), d’autres donnent des nombres décimaux périodiques (comme 1/3 = 0,333...).

⚡ 6. Comparer des fractions

Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur, puis on compare leurs numérateurs.

Exemple : Comparons 2/5 et 3/7.

• PPCM de 5 et 7 : 35.
• 2/5 = 14/35 et 3/7 = 15/35.
• Comme 14 < 15, on a 2/5 < 3/7.

📌 À RETENIR

• Une fraction est composée d’un numérateur et d’un dénominateur.
• Un nombre rationnel peut toujours s’écrire sous forme de fraction.
• Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.
• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs.
• Pour diviser des fractions, on multiplie par l’inverse.
• Pour comparer des fractions, on les met au même dénominateur.

Et voilà, tu es prêt à devenir un pro des fractions et des nombres rationnels ! 🚀