Mathématiques – 4e – Carte mentale : Les fractions et opérations avec les nombres rationnels

🌟 1. Qu’est-ce qu’une fraction ?

• Fraction : Une fraction est un nombre qui représente une partie d’un tout. Elle s’écrit sous la forme a/b, où :
  • a est le numérateur (la partie supérieure) 🍕
  • b est le dénominateur (la partie inférieure) 🍰
• Exemple : 3/4 signifie « 3 parts sur 4 parts égales ».
• ⚠️ Attention : Le dénominateur ne peut jamais être égal à 0 !

🌟 2. Les types de fractions

• Fractions propres : Le numérateur est plus petit que le dénominateur (ex. : 3/5).
• Fractions impropres : Le numérateur est plus grand ou égal au dénominateur (ex. : 7/4).
• Nombres mixtes : Une combinaison d’un nombre entier et d’une fraction (ex. : 2 1/3).
• Fractions équivalentes : Deux fractions qui représentent la même valeur (ex. : 1/2 = 2/4).

🌟 3. Les opérations avec les fractions

➕ Addition et ➖ Soustraction

• Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur :
• Exemple : 1/4 + 2/4 = (1+2)/4 = 3/4
• Si elles n’ont pas le même dénominateur, il faut trouver un dénominateur commun :
• Exemple : 1/3 + 1/6 → Dénominateur commun = 6 → 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

✖️ Multiplication

• On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
• Exemple : 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15

➗ Division

• Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse :
• Exemple : 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = (3×5)/(4×2) = 15/8

🌟 4. Les nombres rationnels

• Définition : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction a/b, où a et b sont des entiers et b ≠ 0.
• Exemples de nombres rationnels :
  • Les fractions : 1/2, -3/4
  • Les nombres entiers : 5 = 5/1
  • Les décimaux : 0,25 = 25/100 = 1/4
• ⚠️ Attention : Les nombres irrationnels (comme √2 ou π) ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction.

🌟 5. Simplification des fractions

• Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).
• Exemple : 6/9 → PGCD = 3 → (6÷3)/(9÷3) = 2/3
• Une fraction est dite irréductible si elle ne peut plus être simplifiée.

🌟 6. Comparaison de fractions

• Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur :
• Exemple : 3/4 et 5/6 → Dénominateur commun = 12 → 9/12 et 10/12 → 5/6 > 3/4
• Astuce : Si les fractions ont le même dénominateur, comparez simplement les numérateurs.

🌟 7. Représentation des fractions

• Les fractions peuvent être représentées :
  • Sur une droite graduée : Exemple, 1/2 est situé entre 0 et 1.
  • Avec des figures géométriques : Exemple, colorier 3 parts sur 4 dans un cercle.

🌟 8. Astuces pour réussir 🏆

• ✔️ Toujours simplifier les fractions pour les rendre plus faciles à manipuler.
• ✔️ Vérifiez vos calculs en repassant par l’inverse des opérations.
• ✔️ Entraînez-vous avec des exercices variés pour maîtriser les concepts.

🎯 À retenir :

• Les fractions sont des parties d’un tout.
• Les opérations sur les fractions suivent des règles spécifiques (addition, multiplication, etc.).
• Les nombres rationnels incluent les fractions, entiers et certains décimaux.
• Simplifiez toujours vos fractions pour plus de clarté !