Mathématiques – 3e – Les systèmes d’équations : résolution graphique et algébrique

📚 LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS : RÉSOLUTION GRAPHIQUE ET ALGÉBRIQUE

Bienvenue dans cette leçon sur les systèmes d’équations ! Aujourd’hui, on va plonger dans cet univers fascinant où les mathématiques nous aident à résoudre des problèmes à deux inconnues. Prêt(e) ? C’est parti ! 🚀

🔍 QU’EST-CE QU’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS ?

Un système d’équations, c’est simplement un ensemble de deux (ou plusieurs) équations que l’on doit résoudre en même temps. Ces équations contiennent des inconnues (souvent notées x et y), et notre objectif est de trouver les valeurs de ces inconnues qui satisfont toutes les équations du système.

Exemple de système d’équations :

• Équation 1 : 2x + y = 5
• Équation 2 : x – y = 1

On cherche les valeurs de x et y qui vérifient ces deux équations en même temps. 🕵️‍♂️

✏️ LES DEUX MÉTHODES DE RÉSOLUTION

Il existe deux grandes méthodes pour résoudre un système d’équations :

1. La résolution graphique
2. La résolution algébrique

1️⃣ LA RÉSOLUTION GRAPHIQUE

La résolution graphique consiste à représenter les équations sur un graphique et à trouver le point d’intersection des deux droites. Ce point correspond à la solution du système.

Étapes :

1. Mettre les équations sous la forme y = mx + p (forme explicite) :
• Équation 1 : 2x + y = 5 devient y = -2x + 5
• Équation 2 : x – y = 1 devient y = x – 1
2. Tracer les droites correspondantes sur un repère :
• Pour y = -2x + 5, on place deux points (par exemple, pour x = 0, y = 5 et pour x = 1, y = 3) et on trace la droite.
• Pour y = x – 1, on place deux points (par exemple, pour x = 0, y = -1 et pour x = 1, y = 0) et on trace la droite.
3. Lire les coordonnées du point d’intersection :
• Le point d’intersection des deux droites donne les valeurs de x et y qui vérifient les deux équations.

⚠️ Attention : La méthode graphique est parfois imprécise, surtout si le point d’intersection ne tombe pas sur des coordonnées entières.

2️⃣ LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

La résolution algébrique consiste à utiliser des calculs pour trouver les solutions. Il existe deux techniques principales :

🔄 MÉTHODE PAR SUBSTITUTION

Étapes :

1. Isoler une inconnue dans l’une des équations :
• Par exemple, dans 2x + y = 5, on peut isoler y : y = -2x + 5.
2. Remplacer cette expression dans l’autre équation :
• Dans x – y = 1, on remplace y par -2x + 5 : x – (-2x + 5) = 1.
3. Résoudre l’équation obtenue :
• x + 2x – 5 = 1 devient 3x = 6, donc x = 2.
4. Remplacer la valeur trouvée dans l’une des équations pour trouver l’autre inconnue :
• En remplaçant x = 2 dans y = -2x + 5, on obtient y = -2(2) + 5 = 1.

Solution : x = 2 et y = 1. 🎉

➕ MÉTHODE PAR COMBINAISON

Étapes :

1. Multiplier les équations pour aligner les coefficients d’une inconnue :
• Par exemple, pour éliminer y, on peut multiplier 2x + y = 5 par 1 et x – y = 1 par 2 :
• Équation 1 : 2x + y = 5
• Équation 2 : 2x – 2y = 2
2. Ajouter ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue :
• En soustrayant, on obtient : (2x + y) – (2x – 2y) = 5 – 2, soit 3y = 3.
3. Résoudre pour trouver une inconnue :
• y = 1.
4. Remplacer dans l’une des équations pour trouver l’autre inconnue :
• En remplaçant y = 1 dans 2x + y = 5, on obtient 2x + 1 = 5, donc x = 2.

Solution : x = 2 et y = 1. 🎉

💡 À RETENIR

• Un système d’équations est un ensemble de deux (ou plusieurs) équations à résoudre simultanément.
• La résolution graphique consiste à tracer les droites et à trouver leur point d’intersection.
• La résolution algébrique utilise des calculs pour trouver les solutions, avec deux techniques principales : la substitution et la combinaison.

Et voilà, tu es maintenant un(e) expert(e) des systèmes d’équations ! 🎓 N’oublie pas : la pratique est la clé pour maîtriser ces techniques. Alors, à toi de jouer ! 🧮