Mathématiques – 3e – Les fonctions linéaires et affines : représentations et applications

📚 LES FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES : REPRÉSENTATIONS ET APPLICATIONS

✨ 1. LES FONCTIONS LINÉAIRES : C’EST QUOI ?

Une fonction linéaire, c’est une fonction qui suit une règle très simple : f(x) = a × x, où a est un nombre qu’on appelle le coefficient.

• ➡️ Exemple : Si a = 3, alors la fonction est f(x) = 3x.
• ➡️ Propriété : Si on multiplie x par un nombre, le résultat est aussi multiplié par ce même nombre.

🖍️ Représentation graphique : Une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l’origine (0, 0). Plus a est grand, plus la pente de la droite est raide.

🎨 Astuce : Pour tracer la droite, il suffit de calculer deux points (par exemple pour x = 0 et x = 1) et de les relier.

🌟 À RETENIR :

• Une fonction linéaire a pour formule f(x) = a × x.
• Son graphique est une droite qui passe par le point (0, 0).

✨ 2. LES FONCTIONS AFFINES : UNE VERSION AMÉLIORÉE

Une fonction affine, c’est comme une fonction linéaire, mais avec un petit bonus. Sa formule est : f(x) = a × x + b, où :

• a est le coefficient directeur (il indique la pente de la droite).
• b est l’ordonnée à l’origine (c’est la valeur de f(x) quand x = 0).

➡️ Exemple : Si a = 2 et b = 3, alors la fonction est f(x) = 2x + 3.

🖍️ Représentation graphique : Une fonction affine est une droite, mais cette fois, elle ne passe pas forcément par l’origine. Elle coupe l’axe des ordonnées au point (0, b).

🎨 Astuce : Pour tracer la droite, calcule deux points (par exemple pour x = 0 et x = 1) et relie-les.

🌟 À RETENIR :

• Une fonction affine a pour formule f(x) = a × x + b.
• Son graphique est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point (0, b).

✨ 3. COMMENT DISTINGUER UNE FONCTION LINÉAIRE D’UNE FONCTION AFFINE ?

➡️ Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où b = 0.

➡️ Si la droite passe par l’origine, alors c’est une fonction linéaire. Sinon, c’est une fonction affine.

🌟 À RETENIR :

• Si b = 0, la fonction est linéaire.
• Sinon, c’est une fonction affine.

✨ 4. APPLICATIONS DES FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES

Les fonctions linéaires et affines sont très utiles pour modéliser des situations de la vie courante. Voici quelques exemples :

• 📈 Fonctions linéaires : Calculer un prix en fonction d’une quantité (par exemple, 3€ par kilo de pommes : f(x) = 3x).
• 📉 Fonctions affines : Calculer un tarif avec un coût fixe (par exemple, 5€ de frais fixes + 2€ par kilomètre : f(x) = 2x + 5).

🎯 Exercice pratique : Imagine que tu veux louer un vélo. Le tarif est de 10€ de frais fixes + 5€ par heure. Écris la fonction affine qui correspond à cette situation et calcule le coût pour 3 heures.

🌟 À RETENIR :

• Les fonctions linéaires et affines permettent de modéliser des situations réelles.
• Une fonction affine inclut souvent un coût fixe (b).

✨ 5. COMMENT RÉSOUDRE UN PROBLÈME AVEC UNE FONCTION AFFINE ?

Pour résoudre un problème, il faut :

1. 📌 Identifier les coefficients a et b dans la formule f(x) = a × x + b.
2. 📌 Remplacer x par la valeur donnée pour calculer f(x).
3. 📌 Si on te donne f(x), résoudre l’équation pour trouver x.

➡️ Exemple : Si f(x) = 2x + 3, trouve f(4) :

• On remplace x par 4 : f(4) = 2 × 4 + 3 = 11.

🌟 À RETENIR :

• Pour calculer f(x), remplace x par la valeur donnée.
• Pour trouver x, résous l’équation donnée.

✨ 6. LES MOTS-CLÉS À CONNAÎTRE

• 📌 Fonction linéaire : Une fonction de la forme f(x) = a × x.
• 📌 Fonction affine : Une fonction de la forme f(x) = a × x + b.
• 📌 Coefficient directeur : Le nombre a, qui indique la pente de la droite.
• 📌 Ordonnée à l’origine : Le nombre b, qui indique où la droite coupe l’axe des ordonnées.

🎉 BRAVO ! TU ES PRÊT(E) POUR LES FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES !

💡 Conseil : Entraîne-toi à tracer des graphes et à résoudre des problèmes pour bien maîtriser ce chapitre. Plus tu pratiques, plus ça devient facile ! 🚀