Mathématiques – 3e – Leçon sur les transformations : agrandissements et réductions

📏 LES TRANSFORMATIONS : AGRANDISSEMENTS ET RÉDUCTIONS

🔍 Qu’est-ce qu’une transformation par agrandissement ou réduction ?

Une transformation par agrandissement ou réduction est une modification d’une figure géométrique où toutes ses dimensions (longueurs, largeurs, hauteurs) sont multipliées par un même nombre appelé le rapport de transformation.

➡️ Si ce rapport est supérieur à 1, on parle d’agrandissement. ➡️ Si ce rapport est compris entre 0 et 1, on parle de réduction.

💡 Exemple : – Si on multiplie toutes les dimensions d’un carré de 2 cm de côté par 2, le carré devient un carré de 4 cm de côté (agrandissement). – Si on multiplie toutes les dimensions d’un triangle de 6 cm de base et 4 cm de hauteur par 0,5, le triangle devient un triangle de 3 cm de base et 2 cm de hauteur (réduction).

📐 LES SOUS-THÉMATIQUES À MAÎTRISER

1️⃣ LE RAPPORT DE TRANSFORMATION

Le rapport de transformation, noté souvent k, est un nombre qui indique de combien on agrandit ou réduit une figure.

➡️ Si k = 2, on double les dimensions (agrandissement). ➡️ Si k = 0,5, on divise les dimensions par 2 (réduction).

⚠️ Attention : Le rapport de transformation s’applique à toutes les dimensions de la figure, pas seulement à une seule.

💡 Exemple : – Une figure a une longueur de 5 cm et une largeur de 3 cm. Si on applique un rapport k = 3, la nouvelle figure aura une longueur de 15 cm (5 × 3) et une largeur de 9 cm (3 × 3).

2️⃣ LES PROPRIÉTÉS DES TRANSFORMATIONS

Les transformations par agrandissement ou réduction respectent certaines propriétés importantes :

• 🟢 Les angles restent les mêmes : Un triangle agrandi ou réduit reste un triangle avec les mêmes angles.
• 🟢 Les proportions sont conservées : Les côtés de la figure agrandie ou réduite restent proportionnels à ceux de la figure initiale.

💡 Exemple : Si un rectangle a des côtés de 4 cm et 6 cm, et qu’on applique un rapport k = 2, le nouveau rectangle aura des côtés de 8 cm et 12 cm. La proportion entre les côtés reste la même : 4/6 = 8/12.

3️⃣ LES AIRES ET LES VOLUMES

Les transformations affectent aussi les aires et les volumes, mais pas de la même manière que les longueurs :

• 📏 Les longueurs sont multipliées par le rapport k.
• 📐 Les aires sont multipliées par k² (le carré du rapport).
• 📦 Les volumes sont multipliés par k³ (le cube du rapport).

💡 Exemple : – Si on applique un rapport k = 3 à un carré de 4 cm², son aire devient 36 cm² (4 × 3²). – Si on applique un rapport k = 2 à un cube de 8 cm³, son volume devient 64 cm³ (8 × 2³).

🛠️ COMMENT RÉALISER UN AGRANDISSEMENT OU UNE RÉDUCTION ?

1️⃣ ÉTAPES À SUIVRE

1. 🔢 Identifier le rapport de transformation (k).
2. 📏 Multiplier toutes les dimensions de la figure initiale par k.
3. ✏️ Tracer la nouvelle figure en respectant les proportions.

💡 Exemple : – Une figure a une longueur de 5 cm et une largeur de 3 cm. Avec un rapport k = 2 : – Nouvelle longueur = 5 × 2 = 10 cm. – Nouvelle largeur = 3 × 2 = 6 cm.

2️⃣ UTILISER UNE ÉCHELLE

Les transformations sont souvent utilisées avec des échelles, par exemple sur des plans ou des cartes :

• 🗺️ Une échelle de 1:100 signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm (1 mètre) dans la réalité.
• 🏠 Une échelle de 2:1 signifie que la figure est agrandie 2 fois par rapport à la réalité.

⚡ POINTS CLÉS À RETENIR

• ➡️ Un agrandissement a un rapport k > 1, une réduction a un rapport 0 < k < 1.
• ➡️ Les angles ne changent jamais lors d’une transformation.
• ➡️ Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², et les volumes par k³.

🎯 EXERCICE POUR S’ENTRAÎNER

Un rectangle a une longueur de 6 cm et une largeur de 4 cm :

• 1️⃣ Applique un rapport k = 1,5. Quelle est la longueur et la largeur de la nouvelle figure ?
• 2️⃣ Calcule l’aire de la figure initiale et de la figure transformée.
• 3️⃣ Si le rectangle initial est un mur et qu’on applique une échelle de 1:10, quelles sont les dimensions du mur sur le plan ?

💪 Bonne chance, futur expert des transformations géométriques !