Mathématiques – 3e – Carte mentale : Les systèmes d’équations (résolution graphique et algébrique)

🌟 Qu’est-ce qu’un système d’équations ?

• Un système d’équations, c’est un ensemble de deux ou plusieurs équations 📋 qui partagent les mêmes inconnues (souvent notées x et y).
• Le but est de trouver les valeurs des inconnues qui vérifient toutes les équations en même temps ✅.
• Exemple :
  • Équation 1 : 2x + y = 5
  • Équation 2 : x – y = 1

  Trouver x et y qui satisfont les deux équations !

📊 Résolution graphique

• Chaque équation est représentée par une droite sur un repère cartésien 🗺️.
• Les étapes :
  1. 💡 Isoler y dans chaque équation pour obtenir une forme y = mx + p (forme affine).
  2. 🖍️ Tracer les deux droites sur le même repère.
  3. 📍 Le point d’intersection des deux droites correspond à la solution du système.
• Exemple :
  • Équation 1 : y = -2x + 5
  • Équation 2 : y = x – 1
  • Tracer les deux droites et trouver leur intersection : (x = 2, y = 1).
• À retenir : Si :
  • Les droites se croisent ➡️ 1 solution.
  • Les droites sont parallèles ➡️ Pas de solution.
  • Les droites sont confondues ➡️ Infinité de solutions.

🧮 Résolution algébrique

• Il existe deux méthodes principales pour résoudre un système d’équations de manière algébrique :
• 1. Méthode par substitution 🔄
  1. 💡 Isoler une inconnue (par exemple y) dans l’une des équations.
  2. 🔗 Remplacer cette expression dans l’autre équation.
  3. 🧮 Résoudre l’équation obtenue pour trouver la valeur d’une inconnue.
  4. 🔙 Reporter cette valeur dans l’une des équations pour trouver l’autre inconnue.
• Exemple :
  • Équation 1 : y = 2x + 1
  • Équation 2 : 3x + y = 7
  • Substituer y dans l’équation 2 : 3x + (2x + 1) = 7.
  • Résoudre : 5x + 1 = 7 ➡️ x = 1.2.
  • Reporter dans Équation 1 : y = 2(1.2) + 1 = 3.4.
• 2. Méthode par combinaison linéaire ➕➖
  1. 💡 Multiplier les équations pour obtenir un même coefficient pour une inconnue.
  2. ➖ Soustraire ou ➕ additionner les deux équations pour éliminer une inconnue.
  3. 🧮 Résoudre l’équation obtenue.
  4. 🔙 Reporter la valeur trouvée dans l’une des équations pour trouver l’autre inconnue.
• Exemple :
  • Équation 1 : 2x + y = 5
  • Équation 2 : 3x – y = 4
  • Ajouter les deux équations : (2x + y) + (3x – y) = 5 + 4 ➡️ 5x = 9 ➡️ x = 1.8.
  • Reporter dans Équation 1 : 2(1.8) + y = 5 ➡️ y = 1.4.

🔑 Points clés à retenir

• Un système d’équations a une solution si les droites se croisent.
• Deux méthodes principales :
  • 📊 Graphique : Tracer les droites et trouver leur intersection.
  • 🧮 Algébrique : Utiliser la substitution ou la combinaison linéaire.
• Bien vérifier vos calculs pour éviter les erreurs 🚨.

🎯 Astuces pour réussir

• 💡 Toujours vérifier vos solutions en les remplaçant dans les deux équations.
• 📏 Pour la méthode graphique, utilisez une échelle adaptée pour plus de précision.
• 📝 En algébrique, gardez vos calculs bien organisés pour éviter les confusions.
• 🤔 Si vous êtes bloqué, relisez l’énoncé et vérifiez vos étapes.

📌 Exercice d’entraînement

Résolvez le système suivant :

• Équation 1 : y = 3x – 2
• Équation 2 : 2x + y = 4

Essayez les deux méthodes (graphique et algébrique) pour trouver la solution ! 🧩