Mathématiques – 3e – Carte mentale : Les identités remarquables

🌟 Qu’est-ce qu’une identité remarquable ? 🌟

Une identité remarquable, c’est une formule mathématique qui permet de simplifier ou de développer des expressions algébriques. Ces formules sont des outils magiques 🪄 pour gagner du temps et éviter les erreurs dans les calculs !

⚠️ À retenir : Les identités remarquables sont valables pour toutes les valeurs des lettres utilisées.

🔑 Les 3 identités remarquables à connaître 🔑

• 1. Le carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b² 🟢
• 2. Le carré d’une différence : (a - b)² = a² - 2ab + b² 🔵
• 3. La différence de deux carrés : (a + b)(a - b) = a² - b² 🟡

📌 Détails et explications pour chaque identité 📌

1️⃣ Le carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Explication : Quand on élève une somme au carré, cela revient à multiplier cette somme par elle-même : (a + b) × (a + b).
En développant, on obtient :

• a × a = a² 🟢
• a × b = ab 🔵
• b × a = ab 🟣
• b × b = b² 🟡

En regroupant, on a : a² + 2ab + b².

Exemple : (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9 ✨

2️⃣ Le carré d’une différence : (a - b)² = a² - 2ab + b²

Explication : Même principe que pour le carré d’une somme, mais cette fois avec une soustraction.
On développe : (a - b) × (a - b), ce qui donne :

• a × a = a² 🟢
• a × (-b) = -ab 🔵
• (-b) × a = -ab 🟣
• (-b) × (-b) = b² 🟡

En regroupant, on a : a² - 2ab + b².

Exemple : (x - 5)² = x² - 2 × x × 5 + 5² = x² - 10x + 25 ✨

3️⃣ La différence de deux carrés : (a + b)(a - b) = a² - b²

Explication : Ici, on multiplie une somme par une différence. En développant, on obtient :

• a × a = a² 🟢
• a × (-b) = -ab 🔵
• b × a = ab 🟣
• b × (-b) = -b² 🟡

Les termes +ab et -ab s’annulent, il reste donc : a² - b².

Exemple : (x + 4)(x - 4) = x² - 4² = x² - 16 ✨

💡 Applications pratiques 💡

• Simplifier des expressions : Utiliser les identités remarquables pour éviter de développer entièrement.
• Résoudre des équations : Identifier les identités remarquables pour factoriser ou développer rapidement.
• Calcul mental : Calculer plus vite des carrés ou des produits particuliers. Par exemple : 102² = (100 + 2)² = 100² + 2 × 100 × 2 + 2² = 10404 🧠✨

📝 Astuces pour mémoriser 📝

• Associe chaque identité à une couleur ou un symbole 🎨.
• Répète-les à voix haute pour t’en souvenir 🗣️.
• Entraîne-toi avec des exemples concrets pour bien les comprendre ✍️.

⚠️ Erreurs fréquentes à éviter ⚠️

• Confondre les identités : Par exemple, ne pas inverser (a + b)² et (a - b)².
• Oublier les termes du milieu : Dans (a + b)², ne pas oublier 2ab !
• Mal appliquer la différence de carrés : Attention à bien écrire a² - b² et pas autre chose.

🎯 Objectif : Maîtriser les identités remarquables 🎯

Avec ces outils, tu seras prêt(e) à affronter les exercices de maths avec confiance 💪. N’oublie pas : la clé, c’est la pratique régulière ! 🧮✨