Mathématiques – 5e – Carte mentale : Les puissances de 10 et la notation scientifique

1️⃣ Qu’est-ce qu’une puissance de 10 ?

• Définition : Une puissance de 10 est une façon d’écrire un nombre en multipliant ou divisant par 10 plusieurs fois. 🧮
• Forme : 10n, où n est un nombre entier (positif ou négatif).

Exemples :

• 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 (on multiplie 10 par lui-même 3 fois) ✨
• 10^-2 = 1 / (10 × 10) = 0,01 (on divise 1 par 10 deux fois) 🔍

💡 Astuce : Plus l’exposant est grand, plus le nombre est grand. Plus l’exposant est négatif, plus le nombre est petit !

2️⃣ La notation scientifique 🧪

• Définition : La notation scientifique est une façon d’écrire des nombres très grands ou très petits à l’aide des puissances de 10. 🌍
• Forme : a × 10n, où :
  • a est un nombre décimal (1 ≤ a < 10).
  • n est un entier (positif ou négatif).

Exemples :

• 123 000 → 1,23 × 10⁵ (on déplace la virgule 5 fois à gauche). 🚀
• 0,00045 → 4,5 × 10^-4 (on déplace la virgule 4 fois à droite). 🔬

💡 Astuce : Compte le nombre de déplacements de la virgule pour trouver l’exposant n !

3️⃣ Les opérations avec les puissances de 10 🧮

➕ Addition et soustraction

• Pour additionner ou soustraire des nombres en notation scientifique, les puissances de 10 doivent être identiques.
• Si ce n’est pas le cas, on ajuste les puissances pour les rendre égales.

Exemple :

• 3 × 10⁴ + 5 × 10⁴ = (3 + 5) × 10⁴ = 8 × 10⁴ 🎉
• 2 × 10³ + 4 × 10⁴ → On réécrit 2 × 10³ comme 0,2 × 10⁴, puis on additionne. ✏️

✖️ Multiplication

• Pour multiplier, on multiplie les coefficients et on additionne les exposants.

Exemple :

• (2 × 10³) × (3 × 10⁴) = (2 × 3) × 10³⁺⁴ = 6 × 10⁷ 🌟

➗ Division

• Pour diviser, on divise les coefficients et on soustrait les exposants.

Exemple :

• (6 × 10⁵) ÷ (2 × 10³) = (6 ÷ 2) × 10^5-3 = 3 × 10² 🎯

4️⃣ Comparer des nombres en notation scientifique 🔍

• Comparez d’abord les puissances de 10 :
• Un nombre avec un exposant plus grand est plus grand.
• Si les puissances sont égales, comparez les coefficients.

Exemple :

• 3 × 10⁶ est plus petit que 5 × 10⁶ car 3 < 5. 📏
• 4 × 10⁷ est plus grand que 2 × 10⁶ car 10⁷ > 10⁶. 🚀

5️⃣ Applications pratiques 🌍

• La notation scientifique est utilisée pour :
  • Exprimer des distances astronomiques (ex : la distance Terre-Soleil : 1,496 × 10¹¹ m). 🌌
  • Décrire des quantités microscopiques (ex : la taille d’un atome : 1 × 10^-10 m). 🔬

💡 Astuce : La notation scientifique est un outil puissant pour simplifier les calculs avec des nombres très grands ou très petits !

Résumé visuel 🖼️

• Puissance de 10 : 10n, où n est un entier.
• Notation scientifique : a × 10n, avec 1 ≤ a < 10.
• Opérations :
  • Multiplication : On additionne les exposants.
  • Division : On soustrait les exposants.
  • Addition/Soustraction : On ajuste les puissances si nécessaire.

🎯 Pratique, pratique et encore pratique pour maîtriser les puissances de 10 et la notation scientifique !