Mathématiques – 3e – Carte mentale : Les coordonnées dans le plan : repère orthogonal et vecteurs

1️⃣ LE REPÈRE ORTHOGONAL 🗺️

• Définition : Un repère orthogonal est un système de deux axes perpendiculaires (l’axe x et l’axe y) qui permettent de localiser des points dans un plan. 🟰
• Les éléments du repère :
  • L’origine (O) : Le point où les deux axes se croisent. 🟢
  • L’axe des abscisses (x) : L’axe horizontal. ➡️
  • L’axe des ordonnées (y) : L’axe vertical. ⬆️
• Coordonnées d’un point : Chaque point est défini par un couple (x, y), où :
  • x est l’abscisse (distance par rapport à l’axe vertical).
  • y est l’ordonnée (distance par rapport à l’axe horizontal).
• Exemple : Le point A(3, 2) signifie que :
  • Il est à 3 unités à droite de l’origine sur l’axe des abscisses. ➡️
  • Il est à 2 unités au-dessus de l’origine sur l’axe des ordonnées. ⬆️

2️⃣ LES VECTEURS ➡️

• Définition : Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement dans le plan. Il a :
  • Une direction (par exemple : horizontal, vertical, oblique).
  • Un sens (par exemple : de gauche à droite, de bas en haut).
  • Une norme (sa longueur).
• Notation : Un vecteur est noté →AB, où :
  • A est le point de départ (origine).
  • B est le point d’arrivée.
• Coordonnées d’un vecteur : Si A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂), alors les coordonnées du vecteur →AB sont :
  • →AB(x₂ – x₁, y₂ – y₁)
• Exemple : Si A(2, 1) et B(5, 4), alors :
  • Les coordonnées de →AB sont : (5 – 2, 4 – 1) = (3, 3). ✏️

3️⃣ OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS ➕➖

• Addition de vecteurs : Si →u(x₁, y₁) et →v(x₂, y₂), alors :
  • →u + →v = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
• Exemple : Si →u(2, 3) et →v(1, -1), alors :
  • →u + →v = (2 + 1, 3 – 1) = (3, 2). ✅
• Soustraction de vecteurs : Si →u(x₁, y₁) et →v(x₂, y₂), alors :
  • →u – →v = (x₁ – x₂, y₁ – y₂)
• Exemple : Si →u(4, 5) et →v(1, 2), alors :
  • →u – →v = (4 – 1, 5 – 2) = (3, 3). ✅

4️⃣ COLINÉARITÉ DES VECTEURS 📏

• Définition : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, c’est-à-dire s’ils sont parallèles. 🔄
• Critère de colinéarité : Si →u(x₁, y₁) et →v(x₂, y₂), alors →u et →v sont colinéaires si :
  • x₁ × y₂ = y₁ × x₂
• Exemple : Si →u(2, 4) et →v(1, 2), alors :
  • 2 × 2 = 4 × 1, donc →u et →v sont colinéaires. ✅

5️⃣ APPLICATIONS PRATIQUES 🎯

• Tracer un vecteur : À partir des coordonnées, on place le point de départ et on se déplace selon les coordonnées du vecteur. 🖍️
• Calculer la distance entre deux points : Si A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂), alors :
  • Distance AB = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
• Exemple : Si A(1, 1) et B(4, 5), alors :
  • Distance AB = √((4 – 1)² + (5 – 1)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. ✅