Mathématiques – 3e – Leçon sur les coordonnées dans le plan : repère orthogonal et vecteurs

📌 LES COORDONNÉES DANS LE PLAN : REPÈRE ORTHOGONAL ET VECTEURS

🔍 1. LE REPÈRE ORTHOGONAL

Un repère orthogonal est un système qui permet de localiser un point dans un plan grâce à deux axes perpendiculaires :

• 🟦 L’axe des abscisses (souvent noté Ox) : il est horizontal.
• 🟥 L’axe des ordonnées (souvent noté Oy) : il est vertical.

Ces deux axes se croisent en un point appelé origine (noté O), qui a pour coordonnées (0 ; 0).

Chaque point dans le plan est repéré par un couple de nombres, appelés ses coordonnées :

• Le premier nombre, noté x, est l’abscisse (position sur l’axe horizontal).
• Le second nombre, noté y, est l’ordonnée (position sur l’axe vertical).

Par exemple, le point A(3 ; 2) a une abscisse de 3 (il est à 3 unités à droite de l’origine) et une ordonnée de 2 (il est à 2 unités au-dessus de l’origine).

🔍 2. LES VECTEURS

Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement dans le plan. Il est défini par :

• ✏️ Une direction (horizontale, verticale ou oblique).
• ➡️ Un sens (par exemple, de gauche à droite).
• 📏 Une longueur (appelée aussi norme).

Un vecteur est souvent noté AB, où A est le point de départ (appelé origine) et B est le point d’arrivée.

Les coordonnées d’un vecteur AB sont données par la formule :

Exemple : Si A(2 ; 3) et B(5 ; 7), alors :

• Coordonnée en x : 5 – 2 = 3
• Coordonnée en y : 7 – 3 = 4

Donc, le vecteur AB a pour coordonnées (3 ; 4).

🔍 3. L’ÉGALITÉ DE DEUX VECTEURS

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont :

• 📏 La même longueur.
• ➡️ La même direction.
• ✏️ Le même sens.

En termes de coordonnées, deux vecteurs AB et CD sont égaux si :

Exemple : Si AB(3 ; 4) et CD(3 ; 4), alors les vecteurs AB et CD sont égaux.

🔍 4. L’ADDITION DE VECTEURS

Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs coordonnées :

Exemple : Si u(2 ; 3) et v(1 ; 4), alors :

• Coordonnée en x : 2 + 1 = 3
• Coordonnée en y : 3 + 4 = 7

Donc, u + v = (3 ; 7).

🔍 5. LE MILIEU D’UN SEGMENT

Le milieu d’un segment est le point qui le partage en deux parties égales. Si un segment a pour extrémités A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors les coordonnées du milieu M sont données par :

Exemple : Si A(2 ; 3) et B(4 ; 7), alors :

• Coordonnée en x : (2 + 4) / 2 = 3
• Coordonnée en y : (3 + 7) / 2 = 5

Donc, le milieu M a pour coordonnées (3 ; 5).

🎯 À RETENIR

• 📌 Un repère orthogonal permet de localiser un point grâce à ses coordonnées (x ; y).
• 📌 Un vecteur est défini par une direction, un sens et une longueur.
• 📌 Les coordonnées d’un vecteur se calculent avec la formule : AB(x_B – x_A ; y_B – y_A).
• 📌 Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
• 📌 Le milieu d’un segment se calcule avec la formule : M((x_A + x_B) / 2 ; (y_A + y_B) / 2).

Et voilà, tu es prêt à conquérir les mystères des coordonnées dans le plan et des vecteurs ! 🚀