🌟 LES NOMBRES COMPLEXES : INTRODUCTION ET REPRÉSENTATION DANS LE PLAN 🌟
Bienvenue dans le monde fascinant des nombres complexes ! 🌀 Ces nombres un peu mystérieux vont te permettre de résoudre des équations qui semblaient impossibles jusque-là. Prêt(e) à plonger dans cet univers ? 🚀
💡 1. QU’EST-CE QU’UN NOMBRE COMPLEXE ?
Un nombre complexe, c’est un nombre qui combine deux parties :
- Une partie réelle (comme les nombres que tu connais déjà : 2, -3, 0,5…)
- Une partie imaginaire, qui fait intervenir une unité spéciale appelée i.
👉 i est un nombre un peu particulier : c’est la solution de l’équation i² = -1. Oui, tu as bien lu : le carré de i donne -1 ! 🧐
Un nombre complexe s’écrit sous la forme : z = a + bi, où :
- a est la partie réelle (un nombre classique).
- b est la partie imaginaire (multiplié par i).
Exemple : z = 3 + 2i signifie que la partie réelle est 3 et la partie imaginaire est 2i.
🔍 2. LES NOMBRES COMPLEXES DANS LE PLAN : LE PLAN D’ARGAND
Pour représenter un nombre complexe, on utilise un plan spécial appelé le plan d’Argand. 🗺️
Dans ce plan :
- L’axe horizontal (appelé axe des réels) représente la partie réelle du nombre complexe.
- L’axe vertical (appelé axe des imaginaires) représente la partie imaginaire.
👉 Chaque nombre complexe z = a + bi est donc un point dans ce plan, avec :
- a comme coordonnée sur l’axe des réels.
- b comme coordonnée sur l’axe des imaginaires.
Exemple : Le nombre complexe z = 3 + 2i se place au point de coordonnées (3 ; 2) dans le plan d’Argand. 📍
📏 3. MODULE ET ARGUMENT D’UN NOMBRE COMPLEXE
Pour mieux comprendre un nombre complexe, on peut le décrire avec deux notions importantes :
✨ a) Le module
Le module d’un nombre complexe, noté |z|, correspond à la distance entre le point z et l’origine (0,0) dans le plan d’Argand. C’est comme mesurer la longueur d’une flèche qui va de l’origine au point z. 🏹
👉 Pour calculer le module de z = a + bi, on utilise la formule :
|z| = √(a² + b²)
Exemple : Pour z = 3 + 2i, le module est :
|z| = √(3² + 2²) = √(9 + 4) = √13
✨ b) L’argument
L’argument d’un nombre complexe, noté arg(z), est l’angle que forme la flèche (ou vecteur) avec l’axe des réels. Cet angle est mesuré en radians (ou en degrés). 🎯
👉 Pour trouver l’argument, on utilise souvent la trigonométrie, mais pour l’instant, retiens que c’est l’angle qui indique la direction de z dans le plan.
🛠️ 4. OPÉRATIONS AVEC LES NOMBRES COMPLEXES
Les nombres complexes peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et même divisés. Voici comment :
➕ a) Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, on traite séparément les parties réelles et imaginaires :
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Exemple : (3 + 2i) + (1 + 4i) = (3 + 1) + (2 + 4)i = 4 + 6i
✖️ b) Multiplication
Pour multiplier deux nombres complexes, on applique la distributivité et on utilise la propriété i² = -1 :
(a + bi) × (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Exemple : (3 + 2i) × (1 + 4i) = (3×1 – 2×4) + (3×4 + 2×1)i = -5 + 14i
➗ c) Division
Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le conjugué de c + di est c – di.
Exemple : Diviser z1 = 3 + 2i par z2 = 1 + 4i :
z1 / z2 = [(3 + 2i) × (1 – 4i)] / [(1 + 4i) × (1 – 4i)]
On calcule et simplifie pour obtenir le résultat.
⚠️ À RETENIR ⚠️
- Un nombre complexe s’écrit sous la forme z = a + bi, avec une partie réelle a et une partie imaginaire b.
- Dans le plan d’Argand, z est représenté par le point (a ; b).
- Le module de z est sa distance à l’origine : |z| = √(a² + b²).
- L’argument de z est l’angle formé avec l’axe des réels.
- On peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres complexes en suivant des règles précises.
Et voilà, tu es maintenant prêt(e) à explorer les nombres complexes et à les utiliser dans tes exercices ! 🚀✨