📐 LES VECTEURS : CALCUL VECTORIEL ET COLINÉARITÉ
🔍 Qu’est-ce qu’un vecteur ?
Un vecteur est un objet mathématique qui représente une direction, un sens et une longueur (appelée aussi norme). On le note souvent avec une lettre surmontée d’une flèche, comme →AB.
- 👉 Direction : la ligne sur laquelle le vecteur se déplace.
- 👉 Sens : le « côté » vers lequel il pointe (par exemple, de A vers B).
- 👉 Norme : la longueur du vecteur, notée ||→AB||.
Un vecteur est souvent représenté par une flèche tracée entre deux points. Par exemple, le vecteur →AB part du point A et arrive au point B.
✏️ 1. LES OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS
Les vecteurs obéissent à des règles précises pour les opérations mathématiques. Voici les principales :
➕ Addition de vecteurs
Pour additionner deux vecteurs, on utilise la règle du parallélogramme ou la règle du triangle :
- 👉 Si on a deux vecteurs →u et →v, leur somme →u + →v est obtenue en « collant » la fin de →u au début de →v.
- 👉 Le résultat est un nouveau vecteur qui va du début de →u à la fin de →v.
Exemple : Si →AB = (3, 2) et →CD = (1, 4), alors →AB + →CD = (3+1, 2+4) = (4, 6).
➖ Soustraction de vecteurs
Pour soustraire deux vecteurs, on utilise la règle suivante :
- 👉 La soustraction →u – →v revient à additionner →u et l’opposé de →v (noté -→v).
- 👉 L’opposé d’un vecteur a la même direction et la même norme, mais un sens opposé.
Exemple : Si →AB = (3, 2) et →CD = (1, 4), alors →AB – →CD = (3-1, 2-4) = (2, -2).
✖️ Multiplication d’un vecteur par un scalaire
Un scalaire est un simple nombre. Multiplier un vecteur par un scalaire revient à :
- 👉 Multiplier la norme du vecteur par ce nombre.
- 👉 Garder la même direction et le même sens si le scalaire est positif.
- 👉 Inverser le sens si le scalaire est négatif.
Exemple : Si →u = (2, 3) et le scalaire est 3, alors 3→u = (3×2, 3×3) = (6, 9).
✏️ 2. LA COLINÉARITÉ DES VECTEURS
Deux vecteurs sont dits colinéaires s’ils ont la même direction, même s’ils n’ont pas la même norme ou le même sens. En d’autres termes :
- 👉 Les vecteurs →u et →v sont colinéaires s’il existe un scalaire k tel que →v = k→u.
- 👉 Si k > 0, les vecteurs ont le même sens. Si k < 0, ils ont des sens opposés.
🧪 Test de colinéarité
Pour vérifier si deux vecteurs sont colinéaires, on peut utiliser leurs coordonnées :
- 👉 Si →u = (x₁, y₁) et →v = (x₂, y₂), alors ils sont colinéaires si x₁y₂ = x₂y₁.
Exemple : Les vecteurs (2, 4) et (1, 2) sont colinéaires car 2×2 = 4×1.
🌟 À RETENIR
- 📌 Un vecteur a une direction, un sens, et une norme.
- 📌 On peut additionner, soustraire ou multiplier des vecteurs par des scalaires.
- 📌 Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction.
- 📌 Pour tester la colinéarité, utilisez la règle x₁y₂ = x₂y₁.
🎯 EXERCICES POUR S’ENTRAÎNER
- Calculez la somme des vecteurs (3, 2) et (-1, 4).
- Vérifiez si les vecteurs (2, 3) et (4, 6) sont colinéaires.
- Multipliez le vecteur (1, -2) par le scalaire -3.
💡 Astuce : Dessinez les vecteurs sur un repère pour mieux visualiser leurs propriétés !