Mathématiques – Seconde – Leçon sur les suites : suites arithmétiques et géométriques

📚 LES SUITES : SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

🔍 Qu’est-ce qu’une suite ?

Une suite est une liste ordonnée de nombres, appelés termes, qui suivent une certaine règle. Chaque terme est noté u_n, où n représente la position du terme dans la suite (1er, 2e, 3e, etc.).

👉 Exemple : La suite 2, 4, 6, 8, 10… suit une règle simple : on ajoute 2 à chaque terme pour obtenir le suivant.

🧮 LES SUITES ARITHMÉTIQUES

✨ Définition

Une suite arithmétique est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant un même nombre, appelé raison, au terme précédent.

👉 Si la raison est notée r, alors :

• u_n+1 = u_n + r

📐 Formule explicite

Pour trouver directement le n^e terme d’une suite arithmétique, on utilise la formule :

• u_n = u₁ + (n – 1) × r

👉 u₁ est le premier terme de la suite, n est la position du terme, et r est la raison.

🖍️ Exemple

Considérons une suite arithmétique où u₁ = 3 et r = 5.

• Le 2^e terme : u₂ = u₁ + r = 3 + 5 = 8
• Le 3^e terme : u₃ = u₂ + r = 8 + 5 = 13
• Le 4^e terme : u₄ = u₃ + r = 13 + 5 = 18

👉 La suite est donc : 3, 8, 13, 18…

⚠️ À retenir

• La raison est constante dans une suite arithmétique.
• La formule explicite permet de calculer directement n’importe quel terme.

🧮 LES SUITES GÉOMÉTRIQUES

✨ Définition

Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même nombre, appelé raison.

👉 Si la raison est notée q, alors :

• u_n+1 = u_n × q

📐 Formule explicite

Pour trouver directement le n^e terme d’une suite géométrique, on utilise la formule :

• u_n = u₁ × q^n-1

👉 u₁ est le premier terme de la suite, n est la position du terme, et q est la raison.

🖍️ Exemple

Considérons une suite géométrique où u₁ = 2 et q = 3.

• Le 2^e terme : u₂ = u₁ × q = 2 × 3 = 6
• Le 3^e terme : u₃ = u₂ × q = 6 × 3 = 18
• Le 4^e terme : u₄ = u₃ × q = 18 × 3 = 54

👉 La suite est donc : 2, 6, 18, 54…

⚠️ À retenir

• La raison est constante dans une suite géométrique.
• La formule explicite permet de calculer directement n’importe quel terme.

🔗 DIFFÉRENCES ENTRE SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

🎯 EXERCICE POUR S’ENTRAÎNER

1. Trouve les 5 premiers termes de la suite arithmétique où u₁ = 7 et r = 4.

2. Trouve les 5 premiers termes de la suite géométrique où u₁ = 3 et q = 2.

3. Compare les deux suites : que remarques-tu ?

✨ ASTUCE DE JAMY

💡 Pour vérifier si une suite est arithmétique ou géométrique, calcule la différence ou le quotient entre deux termes consécutifs. Si c’est toujours le même, alors tu as trouvé la raison !

📌 À RETENIR

• Une suite arithmétique ajoute une raison constante (r).
• Une suite géométrique multiplie par une raison constante (q).
• Les formules explicites permettent de calculer directement un terme sans passer par les précédents.

Et voilà, tu es prêt à maîtriser les suites comme un pro ! 🚀