📚 LES FONCTIONS : FONCTIONS AFFINES, POLYNÔMES, EXPONENTIELLES
🔍 1. LES FONCTIONS AFFINES
Une fonction affine est une fonction qui s’écrit sous la forme :
f(x) = ax + b
- a est appelé le coefficient directeur.
- b est appelé l’ordonnée à l’origine.
👉 Cette fonction représente une droite dans un repère.
✏️ Exemple :
Si f(x) = 2x + 3 :
- Le coefficient directeur est a = 2.
- L’ordonnée à l’origine est b = 3.
- La droite passe par le point (0, 3) et monte de 2 unités verticales pour chaque unité horizontale.
🌟 À RETENIR :
- Si a > 0, la droite monte (fonction croissante).
- Si a < 0, la droite descend (fonction décroissante).
- Si a = 0, la fonction est constante (droite horizontale).
🔍 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
Un polynôme est une fonction qui s’écrit sous la forme :
f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + … + a_1x + a_0
👉 Les fonctions polynômes les plus simples sont :
- Les fonctions constantes : f(x) = c (exemple : f(x) = 5).
- Les fonctions linéaires : f(x) = ax (exemple : f(x) = 3x).
- Les fonctions quadratiques (ou polynômes de degré 2) : f(x) = ax² + bx + c (exemple : f(x) = 2x² – 3x + 1).
✏️ Exemple :
Pour f(x) = x² – 4x + 3 :
- C’est un polynôme de degré 2.
- Le graphe est une parabole.
- Pour trouver les racines (les points où f(x) = 0), on résout l’équation x² – 4x + 3 = 0.
🌟 À RETENIR :
- Le degré du polynôme est l’exposant le plus élevé de x.
- Les polynômes de degré 2 ont des graphes en forme de parabole.
- Les racines d’un polynôme sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0.
🔍 3. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES
Une fonction exponentielle est une fonction qui s’écrit sous la forme :
f(x) = a × e^(kx)
- e est une constante mathématique (environ 2,718).
- k est un coefficient qui influence la vitesse de croissance ou de décroissance.
👉 La fonction exponentielle est très utilisée pour modéliser des phénomènes comme la croissance des populations, la radioactivité, ou encore les intérêts composés en économie.
✏️ Exemple :
Si f(x) = 3e^(2x) :
- La fonction est croissante car k = 2 > 0.
- Pour x = 0, f(x) = 3 × e^(0) = 3.
🌟 À RETENIR :
- Si k > 0, la fonction est croissante.
- Si k < 0, la fonction est décroissante.
- La fonction exponentielle est toujours positive.
✨ RÉSUMÉ VISUEL
- 📈 Fonction affine : f(x) = ax + b (droite).
- 📊 Fonction polynôme : f(x) = ax^n + … (parabole pour degré 2).
- 🌍 Fonction exponentielle : f(x) = a × e^(kx) (croissance rapide).
🎯 ASTUCES POUR RÉUSSIR
- Trace toujours un graphe pour visualiser la fonction.
- Identifie les coefficients (a, b, k, etc.) pour comprendre le comportement de la fonction.
- Entraîne-toi à résoudre des équations pour trouver les racines.
Et voilà, jeune mathématicien, tu as maintenant toutes les clés pour maîtriser les fonctions affines, polynômes et exponentielles ! 🚀