📐 LA TRIGONOMÉTRIE : ANGLES, SINUS, COSINUS, TANGENTE
🔍 Qu’est-ce que la trigonométrie ?
La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les longueurs dans un triangle. Elle est particulièrement utile pour résoudre des problèmes géométriques et pour modéliser des phénomènes dans la vie réelle (comme les ondes ou les trajectoires).
📏 Les notions essentielles à connaître
Voici les sous-thématiques que nous allons explorer :
- 🔺 Les angles et leurs mesures
- 📐 Les définitions du sinus, cosinus et tangente
- 🧮 Les formules trigonométriques de base
- 🧭 Les valeurs remarquables
- 📊 Applications pratiques
🔺 LES ANGLES ET LEURS MESURES
Un angle est une figure formée par deux demi-droites qui partent d’un même point. En trigonométrie, les angles sont souvent mesurés en degrés (°) ou en radians.
🌟 À RETENIR :
- Un tour complet = 360° ou 2π radians.
- Un demi-tour = 180° ou π radians.
- 1 radian ≈ 57,3°.
👉 En Seconde, on travaille souvent avec des angles entre 0° et 360°.
📐 LES DÉFINITIONS DU SINUS, COSINUS ET TANGENTE
Dans un triangle rectangle, les côtés ont des noms spécifiques :
- 📏 Hypoténuse : le côté le plus long, opposé à l’angle droit.
- 📏 Côté adjacent : le côté qui touche l’angle étudié (autre que l’hypoténuse).
- 📏 Côté opposé : le côté en face de l’angle étudié.
Les fonctions trigonométriques sont définies ainsi :
- 📌 Sinus (noté sin) :
sin(θ) = côté opposé / hypoténuse. - 📌 Cosinus (noté cos) :
cos(θ) = côté adjacent / hypoténuse. - 📌 Tangente (noté tan) :
tan(θ) = côté opposé / côté adjacent.
🌟 À RETENIR :
Ces relations ne fonctionnent que dans un triangle rectangle !
🧮 LES FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES DE BASE
La trigonométrie repose sur des formules simples mais puissantes :
- 📏 Relation fondamentale :
sin²(θ) + cos²(θ) = 1. - 📏 Tangente en fonction du sinus et du cosinus :
tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)(si cos(θ) ≠ 0).
🌟 À RETENIR :
Ces formules sont valables pour tous les angles, pas seulement dans un triangle rectangle.
🧭 LES VALEURS REMARQUABLES
Certains angles ont des valeurs de sinus, cosinus et tangente que vous devez connaître par cœur :
| Angle (°) | Angle (radians) | sin(θ) | cos(θ) | tan(θ) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | Non défini |
🌟 ASTUCE :
Utilisez des moyens mnémotechniques pour retenir ces valeurs, comme des schémas ou des chansons ! 🎵
📊 APPLICATIONS PRATIQUES
La trigonométrie est utilisée dans de nombreux domaines :
- 🏗️ Calculer la hauteur d’un bâtiment ou d’un arbre en mesurant un angle et une distance.
- 🚀 Étudier les trajectoires en physique.
- 📡 Travailler avec des signaux en électronique.
🌟 EXEMPLE :
Un arbre projette une ombre de 10 m. L’angle entre le sol et la ligne reliant le sommet de l’arbre à l’extrémité de l’ombre est de 30°. Quelle est la hauteur de l’arbre ?
Solution :
- On utilise le sinus :
sin(30°) = hauteur / 10. - On sait que
sin(30°) = 1/2. - Donc,
1/2 = hauteur / 10. - Hauteur = 10 × 1/2 = 5 m.
🎯 CE QU’IL FAUT RETENIR
- 📌 Les angles peuvent être mesurés en degrés ou en radians.
- 📌 Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont définies dans un triangle rectangle.
- 📌 La relation fondamentale :
sin²(θ) + cos²(θ) = 1. - 📌 Apprenez les valeurs remarquables par cœur pour gagner du temps !
Et voilà, jeune mathématicien ! Avec ces bases bien solides, tu es prêt à conquérir le monde de la trigonométrie. 🚀