Mathématiques – Seconde – Carte mentale : Trigonométrie (angles, sinus, cosinus, tangente)

🌟 Les notions clés à connaître :

• Les angles ➡️ Mesure et unités (degrés et radians)
• Le cercle trigonométrique ➡️ Base de la trigonométrie
• Les fonctions trigonométriques ➡️ Sinus, cosinus et tangente
• Les relations fondamentales ➡️ Identités trigonométriques
• Résolution de triangles ➡️ Applications pratiques

📏 1. Les angles

🔹 Un angle est une ouverture entre deux droites qui se coupent en un point appelé sommet.

Unité de mesure :

• 📏 Degrés (°) : L’unité la plus courante. Exemple : 90° pour un angle droit.
• 🔄 Radians : Utilisés en mathématiques avancées. 1 tour complet = 2π radians.

💡 Conversion : 1 radian ≈ 57,3° et 180° = π radians.

🟠 2. Le cercle trigonométrique

🔹 Définition : Un cercle de rayon 1 centré à l’origine d’un repère (0,0).

🔑 Points importants :

• 🟢 Rayon = 1
• ⚪ Angles positifs : Sens anti-horaire
• 🔴 Angles négatifs : Sens horaire
• 📍 Points remarquables : (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)

💡 Astuce : Le cercle trigonométrique est un outil visuel pour comprendre les fonctions sinus, cosinus et tangente.

📈 3. Les fonctions trigonométriques

🔹 Sinus (sin) :

• 📍 Dans le cercle trigonométrique : Coordonnée verticale du point.
• 📐 Dans un triangle rectangle : Rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse.
• 💡 Exemple : Si l’angle est 30°, alors sin(30°) = 1/2.

🔹 Cosinus (cos) :

• 📍 Dans le cercle trigonométrique : Coordonnée horizontale du point.
• 📐 Dans un triangle rectangle : Rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse.
• 💡 Exemple : Si l’angle est 60°, alors cos(60°) = 1/2.

🔹 Tangente (tan) :

• 📍 Dans le cercle trigonométrique : Rapport entre le sinus et le cosinus : tan(θ) = sin(θ) / cos(θ).
• 📐 Dans un triangle rectangle : Rapport entre le côté opposé et le côté adjacent.
• 💡 Exemple : Si l’angle est 45°, alors tan(45°) = 1.

🔗 4. Les relations fondamentales

🔑 Identité trigonométrique principale :

• 📜 sin²(θ) + cos²(θ) = 1
• 💡 Exemple : Si sin(θ) = 3/5, alors cos²(θ) = 1 - (3/5)² = 16/25.

🔑 Autres relations :

• 📐 tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
• 📐 1 + tan²(θ) = 1 / cos²(θ)

📐 5. Résolution de triangles

🔹 Triangle rectangle :

• 📏 Utiliser les fonctions trigonométriques pour trouver un côté ou un angle.
• 💡 Exemple : Si sin(30°) = 1/2 et l’hypoténuse mesure 10 cm, alors le côté opposé mesure 10 × 1/2 = 5 cm.

🔹 Triangle quelconque :

• 📜 Formule du cosinus : cos(θ) = (a² + b² - c²) / (2ab)
• 📜 Formule du sinus : (a / sin(A)) = (b / sin(B)) = (c / sin(C))

🎯 Points à retenir :

• 📌 Les angles peuvent être mesurés en degrés ou en radians.
• 📌 Le cercle trigonométrique est un outil clé pour visualiser les fonctions sinus, cosinus et tangente.
• 📌 Les identités trigonométriques sont des formules fondamentales à mémoriser.
• 📌 La trigonométrie permet de résoudre des triangles et de modéliser des phénomènes périodiques.

🧠 Astuces pour mémoriser :

• 🎵 Apprends les formules avec des chansons ou des rimes.
• 🎨 Dessine le cercle trigonométrique pour bien visualiser les angles et les fonctions.
• 📝 Fais des fiches de révision avec les formules importantes.