📚 Carte mentale : Les systèmes d’équations (Seconde) 📚
🌟 Qu’est-ce qu’un système d’équations ?
- Définition : Un système d’équations est un ensemble de plusieurs équations (souvent 2) avec plusieurs inconnues (souvent 2).
- Objectif : Trouver les valeurs des inconnues qui vérifient toutes les équations du système en même temps. 🧩
- Exemple :
- Équation 1 : 2x + y = 5
- Équation 2 : x – y = 1
🔑 Méthode 1 : La substitution
Étape 1 : Isoler une inconnue dans l’une des équations.
- Exemple : À partir de x – y = 1, on peut écrire x = y + 1. ✏️
Étape 2 : Remplacer cette expression dans l’autre équation.
- Exemple : Dans 2x + y = 5, remplace x par y + 1 :
- 2(y + 1) + y = 5 ➡️ 2y + 2 + y = 5 ➡️ 3y = 3 ➡️ y = 1.
Étape 3 : Remplacer la valeur trouvée dans l’expression isolée pour trouver l’autre inconnue.
- Exemple : Si y = 1, alors x = y + 1 ➡️ x = 2.
Résultat : La solution est (x, y) = (2, 1). 🎉
🔑 Méthode 2 : L’addition (ou combinaison linéaire)
Étape 1 : Multiplier les équations pour obtenir des coefficients opposés sur une même inconnue.
- Exemple :
- Équation 1 : 2x + y = 5
- Équation 2 : x – y = 1
- Multiplier l’équation 2 par 2 pour obtenir : 2x – 2y = 2.
Étape 2 : Ajouter ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue.
- Exemple :
- (2x + y) + (2x – 2y) = 5 + 2
- 4x – y = 7.
Étape 3 : Résoudre l’équation obtenue pour une inconnue.
- Exemple : Si 4x – y = 7 et y = 1, alors 4x – 1 = 7 ➡️ 4x = 8 ➡️ x = 2.
Étape 4 : Remplacer la valeur trouvée dans l’une des équations initiales pour trouver l’autre inconnue.
- Exemple : Si x = 2, alors dans x – y = 1, on a 2 – y = 1 ➡️ y = 1.
Résultat : La solution est (x, y) = (2, 1). 🎉
🤔 Comment vérifier la solution ?
- Remplacer les valeurs trouvées dans les deux équations initiales.
- Exemple :
- Pour 2x + y = 5, avec x = 2 et y = 1 :
- 2(2) + 1 = 5 ✅
- Pour x – y = 1, avec x = 2 et y = 1 :
- 2 – 1 = 1 ✅
- Si les deux équations sont vérifiées, la solution est correcte ! 🎯
💡 Astuces pour réussir
- 💡 Toujours bien organiser ses calculs pour éviter les erreurs.
- 💡 Vérifier les résultats en remplaçant dans les équations initiales.
- 💡 Si une méthode ne fonctionne pas, essayer l’autre (substitution ou addition).
- 💡 Utiliser des couleurs ou des surligneurs pour suivre les étapes. 🌈
📌 À retenir absolument !
- Substitution : Isoler une inconnue, remplacer, résoudre.
- Addition : Éliminer une inconnue en combinant les équations.
- Vérifier toujours la solution dans les deux équations. ✅
🎯 Objectif final
Trouver les valeurs des inconnues qui vérifient toutes les équations du système. 🏆
