🧠 Carte mentale : Les nombres complexes (Seconde)
🌟 1. Introduction aux nombres complexes
- Définition : Les nombres complexes sont une extension des nombres réels. Ils s’écrivent sous la forme z = a + bi, où :
- a est la partie réelle (un nombre réel).
- b est la partie imaginaire (un nombre réel).
- i est l’unité imaginaire, avec la propriété magique : i² = -1 ✨.
- Exemple : Si z = 3 + 4i, alors :
- Partie réelle : 3
- Partie imaginaire : 4
💡 À retenir :
- Les nombres complexes permettent de résoudre des équations qui n’ont pas de solution dans les réels, comme x² + 1 = 0.
- i² = -1 est la clé pour comprendre les nombres complexes ! 🔑
🌟 2. Représentation dans le plan complexe
- Les nombres complexes peuvent être représentés dans un plan complexe, appelé aussi plan d’Argand.
- Dans ce plan :
- L’axe horizontal (axe des abscisses) représente la partie réelle.
- L’axe vertical (axe des ordonnées) représente la partie imaginaire.
- Un nombre complexe z = a + bi est représenté par le point de coordonnées (a ; b).
💡 Exemple visuel :
- Si z = 3 + 4i, alors :
- Partie réelle : 3 (sur l’axe horizontal).
- Partie imaginaire : 4 (sur l’axe vertical).
- Représentation : le point (3 ; 4) dans le plan.
🌟 3. Module et argument
- Chaque nombre complexe peut être décrit par deux caractéristiques importantes :
- Le module (distance à l’origine) : |z| = √(a² + b²).
- L’argument (angle avec l’axe réel) : noté arg(z).
- Formule du module : Si z = a + bi, alors :
- |z| = √(a² + b²).
- Exemple : Si z = 3 + 4i, alors :
- |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
- Argument : L’angle θ (en radians ou degrés) entre le vecteur représentant z et l’axe réel.
💡 À retenir :
- Le module mesure la « taille » du nombre complexe dans le plan. 📏
- L’argument donne la direction du nombre complexe. 🧭
🌟 4. Forme algébrique et forme trigonométrique
- Un nombre complexe peut être exprimé sous deux formes principales :
- Forme algébrique : z = a + bi.
- Forme trigonométrique : z = |z|(cos(θ) + i·sin(θ)).
- La forme trigonométrique est utile pour les calculs de multiplication et division. 🔄
💡 Exemple :
- Si z = 3 + 4i, alors :
- Module : |z| = 5.
- Argument : θ ≈ 53,13° (ou 0,93 radians).
- Forme trigonométrique : z = 5(cos(53,13°) + i·sin(53,13°)).
🌟 5. Opérations sur les nombres complexes
- Addition et soustraction :
- On additionne ou soustrait les parties réelles et les parties imaginaires séparément.
- Exemple : (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4 – 2)i = 4 + 2i.
- Multiplication :
- On utilise la distributivité et la règle i² = -1.
- Exemple : (3 + 4i) × (1 – 2i) = 3 – 6i + 4i – 8i² = 3 – 2i + 8 = 11 – 2i.
- Conjugué :
- Le conjugué de z = a + bi est z̅ = a – bi.
- Exemple : Si z = 3 + 4i, alors z̅ = 3 – 4i.
💡 À retenir :
- Le conjugué est utile pour simplifier les divisions. 🧮
- Les opérations sur les nombres complexes suivent les mêmes règles que celles des nombres réels, avec i² = -1 comme seule différence.
🌟 6. Applications des nombres complexes
- En physique : Les nombres complexes sont utilisés pour décrire les ondes, les circuits électriques et bien plus encore. ⚡
- En mathématiques : Ils permettent de résoudre des équations polynomiales et d’explorer des concepts avancés comme les fractales. 🌌
💡 À retenir :
- Les nombres complexes sont partout dans la science et la technologie ! 🌍
