Mathématiques – Seconde – Carte mentale : Les inéquations (résolution graphique et algébrique)

💡 Qu’est-ce qu’une inéquation ?

• Définition : Une inéquation est une inégalité mathématique qui contient une ou plusieurs inconnues. Elle peut être de la forme : ax + b > c, ax + b ≤ c, etc.
• Les symboles d’inégalité :
  • > : plus grand que
  • < : plus petit que
  • ≥ : plus grand ou égal à
  • ≤ : plus petit ou égal à
• ⚠️ Une inéquation n’a pas une seule solution, mais un ensemble de solutions.

✏️ Résolution algébrique d’une inéquation

• Étape 1 : Simplifier l’inéquation si nécessaire (réduire les termes similaires).
• Étape 2 : Isoler l’inconnue (x) d’un côté de l’inéquation.
• Étape 3 : ⚠️ Attention au changement de sens :
  • Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité.
  • Exemple : -2x > 4 devient x < -2.
• Étape 4 : Donner l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

Exemple :

Résolvons : 3x - 5 ≤ 10

1. Étape 1 : Ajouter 5 des deux côtés : 3x ≤ 15
2. Étape 2 : Diviser par 3 : x ≤ 5
3. Solution : S = ]-∞ ; 5]

📊 Résolution graphique d’une inéquation

• Étape 1 : Représenter la fonction associée à l’inéquation sur un graphique.
  • Exemple : Pour 3x - 5 ≤ 10, on trace la droite y = 3x - 5.
• Étape 2 : Identifier la zone où l’inéquation est satisfaite :
  • Si l’inéquation est ≤ ou <, on cherche les zones en dessous de la courbe.
  • Si l’inéquation est ≥ ou >, on cherche les zones au-dessus de la courbe.
• Étape 3 : Lire les solutions sur l’axe des abscisses (x).

Exemple :

Pour 3x - 5 ≤ 10 :

1. Tracer la droite y = 3x - 5.
2. Repérer la zone où y ≤ 10 (en dessous de la ligne horizontale y = 10).
3. Lire les solutions : x ≤ 5.

⚠️ Points importants à retenir

• 🔄 Changer le sens de l’inégalité si on multiplie ou divise par un nombre négatif.
• 📉 En résolution graphique, bien identifier les zones au-dessus ou en dessous de la courbe.
• 🧮 Toujours vérifier vos solutions en les remplaçant dans l’inéquation initiale.

🎯 Astuces pour réussir

• ✔️ Utilisez des couleurs différentes pour tracer vos graphiques (par exemple, une couleur pour la courbe et une autre pour la zone solution).
• ✔️ Entraînez-vous avec des exemples variés pour bien comprendre les changements de sens.
• ✔️ Relisez toujours vos calculs pour éviter les erreurs d’inattention.

🗺️ Carte mentale récapitulative

• Inéquation : Une inégalité avec une inconnue (x).
• Résolution algébrique :
  • Simplifier ➡️ Isoler x ➡️ Attention au changement de sens ➡️ Donner l’ensemble des solutions.
• Résolution graphique :
  • Tracer la courbe ➡️ Identifier la zone solution ➡️ Lire sur l’axe des abscisses.
• À retenir : ⚠️ Changement de sens, 📉 zones en dessous/au-dessus, 🧮 vérifier vos solutions.

Avec ces étapes et astuces, les inéquations n’auront plus de secrets pour toi ! 🚀