🧠 Carte mentale : Le plan complexe (module, argument, opérations) – Niveau Seconde
🌟 1. Qu’est-ce que le plan complexe ?
- Le plan complexe 📉 est une façon de représenter les nombres complexes sous forme géométrique.
- Un nombre complexe z s’écrit sous la forme : z = a + bi, où :
- a est la partie réelle (abscisse sur le plan) 📏
- b est la partie imaginaire (ordonnée sur le plan) 📐
- i est l’unité imaginaire, avec i² = -1.
- Chaque nombre complexe correspond à un point dans un repère orthonormé, appelé le plan complexe.
🌟 2. Le module d’un nombre complexe
- Le module d’un nombre complexe z = a + bi, noté |z|, représente sa distance à l’origine dans le plan complexe.
- Formule pour calculer le module : |z| = √(a² + b²) 🧮
- Exemple : Si z = 3 + 4i, alors :
- |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 ✅
- Le module est toujours un nombre positif ou nul.
🌟 3. L’argument d’un nombre complexe
- L’argument d’un nombre complexe z, noté arg(z), est l’angle (en radians ou degrés) que fait le segment [0; z] avec l’axe des abscisses (axe réel).
- Formule pour calculer l’argument : arg(z) = arctan(b/a) (attention aux quadrants !) 🎯
- Exemple : Si z = 1 + √3i, alors :
- arg(z) = arctan(√3/1) = π/3 radians (ou 60°) ✅
- L’argument est souvent exprimé dans l’intervalle ]-π; π].
🌟 4. Les opérations sur les nombres complexes
- Addition et soustraction :
- On additionne ou soustrait séparément les parties réelles et imaginaires.
- Exemple : (3 + 2i) + (1 – 4i) = (3+1) + (2-4)i = 4 – 2i ✅
- Multiplication :
- On utilise la distributivité et la règle i² = -1.
- Exemple : (2 + i) × (1 + 3i) = 2 + 6i + i + 3i² = 2 + 7i – 3 = -1 + 7i ✅
- Division :
- On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
- Exemple : (3 + 4i) / (1 – 2i) :
- Conjugué de 1 – 2i : 1 + 2i
- Calcul : (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 – 2i)(1 + 2i) = (3 + 10i – 8) / (1 + 4) = (-5 + 10i) / 5 = -1 + 2i ✅
🌟 5. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
- Un nombre complexe peut s’écrire sous la forme : z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)), où :
- |z| est le module
- θ est l’argument
- Cette forme est utile pour les multiplications et puissances.
- Exemple : Si z = 1 + i, alors :
- |z| = √2
- arg(z) = π/4
- Forme trigonométrique : z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)) ✅
🌟 6. Résumé visuel
- Plan complexe : Représentation géométrique des nombres complexes.
- Module : Distance à l’origine, |z| = √(a² + b²).
- Argument : Angle avec l’axe réel, arg(z) = arctan(b/a).
- Opérations :
- Addition/soustraction : On traite séparément les parties réelles et imaginaires.
- Multiplication : Distributivité et i² = -1.
- Division : Utilisation du conjugué.
- Forme trigonométrique : z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)).
🌟 Astuces pour réussir ✨
- 💡 Toujours dessiner le point z dans le plan complexe pour visualiser le module et l’argument.
- 💡 Vérifiez vos calculs avec la formule du module et les propriétés trigonométriques.
- 💡 Entraînez-vous avec des exemples variés pour maîtriser les opérations.
