Mathématiques – 4e – Les systèmes d’équations : résolution par substitution ou addition

📚 LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS : RÉSOLUTION PAR SUBSTITUTION OU ADDITION

Bienvenue dans cette leçon sur les systèmes d’équations ! Aujourd’hui, on va apprendre à résoudre ces systèmes grâce à deux méthodes : la substitution et l’addition. Prêt(e) à devenir un(e) pro des équations ? 🚀

🔍 QU’EST-CE QU’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS ?

Un système d’équations, c’est un ensemble de deux (ou plusieurs) équations avec plusieurs inconnues. Le but est de trouver les valeurs des inconnues qui vérifient toutes les équations en même temps.

Exemple :

• Équation 1 : 2x + y = 7
• Équation 2 : x – y = 1

Dans ce système, les inconnues sont x et y. On doit trouver les valeurs de x et y qui rendent ces deux équations vraies. 🧐

🔧 MÉTHODE 1 : LA SUBSTITUTION

La méthode de la substitution consiste à isoler une inconnue dans l’une des équations, puis à remplacer cette inconnue dans l’autre équation. Voici les étapes :

1. Étape 1 : Isoler une inconnue dans l’une des équations.
2. Étape 2 : Substituer cette expression dans l’autre équation.
3. Étape 3 : Résoudre l’équation obtenue.
4. Étape 4 : Trouver la deuxième inconnue en remplaçant la valeur trouvée dans l’une des équations initiales.

✨ Exemple :

Résolvons le système suivant :

• Équation 1 : 2x + y = 7
• Équation 2 : x – y = 1

Étape 1 : Isolons y dans l’équation 2 :

y = x – 1

Étape 2 : Substituons cette expression dans l’équation 1 :

2x + (x – 1) = 7

Étape 3 : Résolvons l’équation :

2x + x – 1 = 7

3x – 1 = 7

3x = 8

x = 8/3

Étape 4 : Remplaçons x dans y = x – 1 :

y = 8/3 – 1

y = 5/3

✨ Solution : x = 8/3 et y = 5/3

🔧 MÉTHODE 2 : L’ADDITION (OU COMBINAISON LINÉAIRE)

La méthode de l’addition consiste à additionner ou soustraire les deux équations pour éliminer une inconnue. Voici les étapes :

1. Étape 1 : Multiplier les équations si nécessaire pour avoir le même coefficient pour une inconnue.
2. Étape 2 : Additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue.
3. Étape 3 : Résoudre l’équation obtenue.
4. Étape 4 : Trouver la deuxième inconnue en remplaçant la valeur trouvée dans l’une des équations initiales.

✨ Exemple :

Résolvons le système suivant :

• Équation 1 : 2x + y = 7
• Équation 2 : x – y = 1

Étape 1 : Multiplions l’équation 2 par 2 pour que les coefficients de y soient opposés :

Équation 1 : 2x + y = 7

Équation 2 : 2(x – y) = 2(1)

Équation 2 : 2x – 2y = 2

Étape 2 : Additionnons les deux équations :

(2x + y) + (2x – 2y) = 7 + 2

4x – y = 9

Étape 3 : Résolvons l’équation :

4x = 9

x = 9/4

Étape 4 : Remplaçons x dans l’une des équations initiales pour trouver y :

2(9/4) + y = 7

18/4 + y = 7

y = 7 – 18/4

y = 10/4

y = 5/2

✨ Solution : x = 9/4 et y = 5/2

💡 ASTUCES POUR BIEN RÉUSSIR

• ✔️ Vérifie toujours tes calculs pour éviter les erreurs !
• ✔️ Si une méthode te semble plus simple pour un système donné, utilise-la !
• ✔️ N’oublie pas de vérifier que tes solutions fonctionnent dans les deux équations.

🎯 À RETENIR

👉 Un système d’équations, c’est un ensemble de deux ou plusieurs équations avec plusieurs inconnues.

👉 Deux méthodes principales pour résoudre un système :

• Substitution : Isoler une inconnue, la remplacer dans l’autre équation.
• Addition : Combiner les deux équations pour éliminer une inconnue.

👉 Toujours vérifier que les solutions trouvées vérifient bien toutes les équations du système.

Et voilà, tu es maintenant prêt(e) à résoudre tous les systèmes d’équations qui se présentent à toi ! 🎉 Bonne chance et amuse-toi bien avec les maths ! 🧮✨