Mathématiques – 4e – Leçon sur le calcul littéral : développement et factorisation

🌟 Le calcul littéral : Développement et Factorisation 🌟

Bienvenue dans cette leçon sur le calcul littéral, un outil magique des mathématiques qui permet de manipuler des expressions avec des lettres (appelées variables) comme si c’étaient des nombres. Aujourd’hui, nous allons explorer deux notions fondamentales : le développement et la factorisation. Prêt(e) ? C’est parti ! 🚀

🔍 Qu’est-ce que le calcul littéral ?

Le calcul littéral consiste à utiliser des lettres pour représenter des nombres. Ces lettres peuvent varier, ce qui permet de généraliser des calculs et de résoudre des problèmes plus complexes. Par exemple :

• a + b représente la somme de deux nombres inconnus.
• 2x signifie « deux fois un nombre x ».

👉 Le calcul littéral est très utile pour simplifier, développer et factoriser des expressions mathématiques.

📚 Partie 1 : Le Développement

Le développement consiste à transformer un produit en une somme ou une différence. On « ouvre » les parenthèses pour écrire l’expression sous une autre forme.

💡 La règle de base : La distributivité

La distributivité est la clé du développement. Elle se décline en deux formes :

• Distributivité simple : a × (b + c) = a × b + a × c
• Distributivité double : (a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

👉 Exemple :

• Développons 3(x + 4) :
• On applique la distributivité : 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12.

👉 Exemple avec la distributivité double :

• Développons (x + 2)(x + 3) :
• On applique la règle : x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6.
• On simplifie : x² + 5x + 6.

⚠️ Astuce pour éviter les erreurs :

• Vérifie que tu as bien multiplié chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième.
• Attention aux signes : si tu multiplies par un nombre négatif, n’oublie pas de changer le signe !

📚 Partie 2 : La Factorisation

La factorisation est l’opération inverse du développement. Elle consiste à transformer une somme ou une différence en un produit. On « met en facteur » des termes communs.

💡 Les outils pour factoriser

Pour factoriser, on utilise principalement :

• La mise en facteur : Si plusieurs termes ont un facteur commun, on peut le mettre en évidence.
• Les identités remarquables : Ce sont des formules toutes faites qui permettent de factoriser rapidement.

👉 Exemple de mise en facteur :

• Factorisons 4x + 8 :
• On remarque que 4 est un facteur commun : 4x + 8 = 4(x + 2).

📖 Les identités remarquables

Voici les trois identités remarquables à connaître par cœur (oui, par cœur ! 🧠) :

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²
• (a + b)(a – b) = a² – b²

👉 Exemple avec une identité remarquable :

• Factorisons x² – 9 :
• On reconnaît la forme a² – b², avec a = x et b = 3.
• On applique l’identité : x² – 9 = (x + 3)(x – 3).

⚠️ Astuce pour réussir la factorisation :

• Commence toujours par chercher un facteur commun.
• Si tu ne trouves pas de facteur commun, vérifie si l’expression correspond à une identité remarquable.

🎯 Ce qu’il faut retenir

• Le développement transforme un produit en une somme ou une différence grâce à la distributivité.
• La factorisation transforme une somme ou une différence en un produit en mettant en facteur ou en utilisant les identités remarquables.
• Les trois identités remarquables sont des outils indispensables pour factoriser rapidement.

📝 Exercice d’entraînement

1. Développe les expressions suivantes :

• a) 2(x + 5)
• b) (x + 3)(x – 2)

2. Factorise les expressions suivantes :

• a) 6x + 12
• b) x² – 16

👉 N’oublie pas de vérifier tes réponses et de t’entraîner régulièrement. Le calcul littéral, c’est comme un sport : plus tu pratiques, meilleur(e) tu deviens ! 💪

Bonne chance et amuse-toi bien avec les maths ! 🎉