Mathématiques – 3e – Leçon sur le calcul littéral : développement et factorisation

📚 Le calcul littéral : Développement et Factorisation

Bienvenue dans cette leçon sur le calcul littéral, un outil super puissant pour manipuler des expressions mathématiques ! Aujourd’hui, on va explorer deux notions fondamentales : le développement et la factorisation. Prêt(e) ? C’est parti ! 🚀

✨ 1. Le développement : Transformer un produit en somme

Le développement, c’est comme déplier une expression mathématique. On transforme un produit (multiplication) en une somme ou une différence. Pour cela, on utilise la distributivité. 📖

🔑 Règle de la distributivité :

a × (b + c) = a × b + a × c

👉 Exemple : Développons 3 × (x + 4) :

• On applique la distributivité : 3 × x + 3 × 4
• On simplifie : 3x + 12

Et voilà, c’est développé ! 🎉

🧩 Cas particuliers :

• (a + b) × (c + d) : Ici, on utilise la double distributivité :
• (a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d
• 👉 Exemple : (x + 2) × (x + 3)
• On développe : x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3
• On simplifie : x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
• Les identités remarquables (on y revient plus tard 👇).

✨ 2. La factorisation : Transformer une somme en produit

La factorisation, c’est l’inverse du développement. On transforme une somme ou une différence en un produit. 🛠️

🔑 Méthode de mise en facteur :

On cherche un facteur commun à toutes les parties de l’expression.

👉 Exemple : Factorisons 3x + 12 :

• On remarque que 3 est un facteur commun.
• On « sort » ce facteur commun : 3 × (x + 4).
• Et voilà, c’est factorisé ! 🎉

🧩 Cas particuliers :

• Quand il n’y a pas de facteur commun évident, on peut utiliser les identités remarquables (voir ci-dessous).

✨ 3. Les identités remarquables : Les formules magiques ✨

Les identités remarquables sont des formules toutes faites qui permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions. Voici les trois principales :

1️⃣ Le carré d’une somme :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

👉 Exemple : Développons (x + 3)² :

• On applique la formule : x² + 2 × x × 3 + 3²
• On simplifie : x² + 6x + 9

2️⃣ Le carré d’une différence :

(a – b)² = a² – 2ab + b²

👉 Exemple : Développons (x – 4)² :

• On applique la formule : x² – 2 × x × 4 + 4²
• On simplifie : x² – 8x + 16

3️⃣ Le produit d’une somme et d’une différence :

(a + b)(a – b) = a² – b²

👉 Exemple : Développons (x + 5)(x – 5) :

• On applique la formule : x² – 5²
• On simplifie : x² – 25

✨ 4. Quand utiliser le développement ou la factorisation ?

🔄 Développement :

• Quand on veut simplifier une multiplication ou résoudre une équation.
• 👉 Exemple : Pour résoudre 3(x + 4) = 15, on développe : 3x + 12 = 15.

🔄 Factorisation :

• Quand on veut simplifier une expression ou résoudre une équation sous forme factorisée.
• 👉 Exemple : Pour résoudre x² – 5x = 0, on factorise : x(x – 5) = 0.

✨ 5. Les pièges à éviter 🚨

• Ne pas oublier de multiplier tous les termes lors du développement.
• Ne pas oublier le facteur commun lors de la factorisation.
• Bien utiliser les identités remarquables uniquement quand elles s’appliquent.

✨ 6. Entraîne-toi ! 🖊️

Voici quelques exercices pour t’entraîner :

• Développe : 2(x + 3)
• Développe : (x + 2)(x – 4)
• Factorise : 4x + 8
• Factorise : x² – 9

Et surtout, amuse-toi avec les maths ! 🎉