Mathématiques – 3e – Le théorème de Pythagore : démonstration et exercices

📐 LEÇON : LE THÉORÈME DE PYTHAGORE (3e) 📐

🔍 Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore est une règle mathématique qui s’applique dans un triangle rectangle (un triangle qui a un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°). Il relie les longueurs des trois côtés du triangle :

• Le côté le plus long s’appelle l’hypoténuse.
• Les deux autres côtés s’appellent les côtés adjacents.

Le théorème dit que : « Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »

✨ La formule magique :

Si on appelle :

• a et b les longueurs des deux côtés adjacents,
• c la longueur de l’hypoténuse,

Alors :

c² = a² + b²

🔎 Comment reconnaître un triangle rectangle ?

Un triangle est rectangle si :

• Il a un angle droit (90°).
• On peut vérifier que la relation du théorème de Pythagore est vraie : c² = a² + b².

📚 Démonstration du théorème de Pythagore

La démonstration du théorème de Pythagore est un peu technique, mais voici une version simplifiée :

1. On dessine un grand carré dont le côté mesure a + b.
2. À l’intérieur de ce carré, on place quatre triangles rectangles identiques.
3. Le reste de l’espace forme un petit carré dont le côté mesure c.
4. On calcule l’aire du grand carré de deux façons différentes :
• En utilisant la formule de l’aire d’un carré : (a + b)².
• En additionnant l’aire des quatre triangles et celle du petit carré : 4 × (1/2 × a × b) + c².
5. En égalant ces deux expressions, on obtient : c² = a² + b².

🛠️ Applications du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est très utile pour :

• Calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle.
• Vérifier si un triangle est rectangle.

📋 Exemple 1 : Calculer l’hypoténuse

Dans un triangle rectangle, les deux côtés adjacents mesurent 3 cm et 4 cm. Quelle est la longueur de l’hypoténuse ?

Solution :

• On applique la formule : c² = a² + b².
• Avec a = 3 et b = 4 :
• c² = 3² + 4²
• c² = 9 + 16
• c² = 25
• On prend la racine carrée : c = √25 = 5.

➡️ L’hypoténuse mesure 5 cm.

📋 Exemple 2 : Vérifier si un triangle est rectangle

Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?

Solution :

• On vérifie si c² = a² + b², avec c = 13, a = 5, et b = 12.
• c² = 13² = 169
• a² + b² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
• Comme c² = a² + b², le triangle est bien rectangle.

➡️ Ce triangle est rectangle !

🧩 Exercices pour s’entraîner

1. Dans un triangle rectangle, les deux côtés adjacents mesurent 6 cm et 8 cm. Quelle est la longueur de l’hypoténuse ?
2. Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm, et 25 cm. Est-il rectangle ?
3. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 10 cm et un côté adjacent mesure 6 cm. Quelle est la longueur de l’autre côté adjacent ?

🎯 Points clés à retenir

• Le théorème de Pythagore s’applique uniquement aux triangles rectangles.
• La formule est : c² = a² + b².
• Le côté le plus long s’appelle l’hypoténuse.
• On peut utiliser le théorème pour calculer une longueur ou vérifier si un triangle est rectangle.

Et voilà, jeune mathématicien ! Avec cette leçon, le théorème de Pythagore n’aura plus aucun secret pour toi. 🚀