La règle qui décide du calcul
Du plan vers la réalité, multiplie par le dénominateur de l’échelle. De la réalité vers le plan, divise par ce dénominateur.
Avant de calculer, exprime les deux longueurs dans la même unité. Après le calcul, vérifie le sens : à l’échelle 1 : n, la représentation est une réduction, donc la longueur réelle doit être plus grande que la longueur mesurée sur le plan.
Objectifs
- interpréter une échelle écrite sous la forme 1 : n ;
- calculer une distance réelle ou une distance sur un plan ;
- déterminer l’échelle d’une représentation ;
- convertir les unités sans fausser le calcul.
1. Ce que signifie une échelle
Une échelle compare une longueur sur un dessin, un plan ou une carte à la longueur correspondante dans la réalité.
À l’échelle 1 : 25 000, 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité. Toutes les longueurs sont donc divisées par 25 000 sur la carte.
Condition obligatoire : les deux longueurs du rapport doivent être exprimées dans la même unité. Comparer directement des centimètres à des kilomètres produit un résultat faux.
Le programme officiel du cycle 4 demande de résoudre des problèmes de proportionnalité portant notamment sur les échelles et d’automatiser les procédures de calcul correspondantes. Les attendus de 3e insistent aussi sur la cohérence des unités.
2. Méthode générale
3. Exemple animé
Une carte est à l’échelle 1 : 25 000. Deux points sont séparés de 7,2 cm sur la carte. Quelle est la distance réelle ?
4. Les trois types de questions
Distance réelle
Distance réelle = distance sur le plan × n
Exemple : 4 cm à l’échelle 1 : 50 000 donnent 200 000 cm, soit 2 km.
Distance sur le plan
Distance sur le plan = distance réelle ÷ n
Exemple : 3 km = 300 000 cm. À l’échelle 1 : 100 000, cela donne 3 cm.
Échelle inconnue
n = distance réelle ÷ distance sur le plan
Exemple : 5 cm représentent 2 km = 200 000 cm. Donc n = 40 000 et l’échelle est 1 : 40 000.
Le tableau n’impose pas une méthode unique : coefficient, retour à l’unité ou quatrième proportionnelle sont valables si le rapport est conservé et si les unités sont cohérentes.
5. Conversions utiles
| Conversion | Calcul |
|---|---|
| cm → m | diviser par 100 |
| m → km | diviser par 1 000 |
| km → m | multiplier par 1 000 |
| km → cm | multiplier par 100 000 |
6. Erreurs fréquentes
- Inverser l’opération : du plan vers la réalité, on multiplie par le dénominateur.
- Oublier les unités : 180 000 obtenu à partir de centimètres est encore en centimètres.
- Écrire une échelle avec des unités : une échelle est un rapport sans unité.
- Confondre longueur et aire : si les longueurs sont multipliées par n, les aires le sont par n².
7. Le test de cohérence qui repère une erreur
Avant de valider, pose deux questions. Premièrement : le résultat est-il exprimé dans l’unité demandée ? Deuxièmement : son ordre de grandeur est-il logique ? Sur une carte au 1 : 25 000, 1 cm représente 250 m selon l’IGN. Une mesure de 7,2 cm doit donc donner un peu moins de 2 km. Obtenir 18 m ou 180 km signalerait une mauvaise conversion.
Ce contrôle ne remplace pas le calcul. Il détecte cependant les erreurs les plus coûteuses : une opération inversée, un zéro oublié ou une conversion faite dans le mauvais sens.
8. Exercices rapides
Exercice 1. Sur un plan à l’échelle 1 : 200, un mur mesure 6,5 cm. Quelle est sa longueur réelle ?
Voir la correction
6,5 × 200 = 1 300 cm, soit 13 m.
Exercice 2. Une route de 12 km est représentée à l’échelle 1 : 300 000. Quelle longueur mesure-t-elle sur la carte ?
Voir la correction
12 km = 1 200 000 cm. Puis 1 200 000 ÷ 300 000 = 4 cm.
Exercice 3. Sur un plan, 8 cm représentent 320 m. Quelle est l’échelle ?
Voir la correction
320 m = 32 000 cm. Puis 32 000 ÷ 8 = 4 000. L’échelle est 1 : 4 000.
Pour approfondir sans repartir de zéro
Sources principales
- Éduscol — programme de mathématiques du cycle 4 issu du BOEN du 30 juillet 2020.
- Éduscol — attendus de fin d’année de 3e en mathématiques.
- IGN — apprendre à lire une carte et interpréter son échelle.
- Bulletin officiel du 5 mars 2026 — calendrier d’application du nouveau programme du cycle 4.
Au 22 septembre 2026, le programme publié en 2020 reste applicable à la classe de 3e. Le programme publié en mars 2026 ne s’appliquera en 3e qu’à la rentrée 2028-2029.