📘 LEÇON : LE PLAN COMPLEXE – MODULE, ARGUMENT, OPÉRATIONS
🔍 1. QU’EST-CE QUE LE PLAN COMPLEXE ?
Le plan complexe est une façon de représenter les nombres complexes sur un plan, un peu comme on place des points sur un repère en géométrie. Chaque nombre complexe est associé à un point dans ce plan.
Un nombre complexe s’écrit sous la forme z = a + bi, où :
- a est la partie réelle (comme l’abscisse en géométrie).
- b est la partie imaginaire (comme l’ordonnée en géométrie).
- i est une unité imaginaire, avec la propriété magique que i² = -1.
Dans le plan complexe :
- L’axe horizontal (x) représente les parties réelles.
- L’axe vertical (y) représente les parties imaginaires.
Par exemple, si z = 3 + 4i, alors :
- a = 3 (partie réelle).
- b = 4 (partie imaginaire).
- On place le point correspondant à z à la position (3, 4) dans le repère.
🎯 À RETENIR : Un nombre complexe est un point dans un repère, avec une partie réelle et une partie imaginaire.
📏 2. LE MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Le module d’un nombre complexe, noté |z|, est la distance entre le point z et l’origine du repère (0, 0). C’est comme mesurer la longueur d’une flèche qui part de l’origine jusqu’au point z.
Pour calculer le module de z = a + bi, on utilise la formule :
|z| = √(a² + b²)
Exemple :
- Si z = 3 + 4i, alors :
- |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
🎯 À RETENIR : Le module d’un nombre complexe est sa distance à l’origine, calculée avec le théorème de Pythagore.
📐 3. L’ARGUMENT D’UN NOMBRE COMPLEXE
L’argument d’un nombre complexe, noté arg(z), est l’angle que fait la flèche (ou vecteur) reliant l’origine au point z avec l’axe des réels (horizontal). Cet angle est mesuré en radians.
Pour calculer l’argument, on utilise la formule :
arg(z) = arctan(b / a)
Exemple :
- Si z = 3 + 4i, alors :
- a = 3 et b = 4.
- arg(z) = arctan(4 / 3).
- En radians, cela donne environ 0,93 rad.
⚠️ Attention : L’argument dépend du quadrant dans lequel se trouve le point z. Il faut parfois ajuster l’angle en fonction des signes de a et b.
🎯 À RETENIR : L’argument est l’angle formé avec l’axe des réels, calculé avec la fonction arctan.
➕ 4. OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES
Les nombres complexes peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et divisés. Voici comment :
✅ Addition et soustraction :
On additionne ou soustrait séparément les parties réelles et imaginaires :
- Si z₁ = a₁ + b₁i et z₂ = a₂ + b₂i, alors :
- z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i.
- z₁ – z₂ = (a₁ – a₂) + (b₁ – b₂)i.
Exemple :
- Si z₁ = 3 + 4i et z₂ = 1 + 2i, alors :
- z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i.
- z₁ – z₂ = (3 – 1) + (4 – 2)i = 2 + 2i.
✅ Multiplication :
Pour multiplier deux nombres complexes, on utilise la distributivité et la propriété i² = -1 :
- Si z₁ = a₁ + b₁i et z₂ = a₂ + b₂i, alors :
- z₁ × z₂ = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i.
Exemple :
- Si z₁ = 3 + 4i et z₂ = 1 + 2i, alors :
- z₁ × z₂ = (3 × 1 – 4 × 2) + (3 × 2 + 4 × 1)i = -5 + 10i.
✅ Division :
Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
- Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est z̅ = a – bi.
- Si z₁ = a₁ + b₁i et z₂ = a₂ + b₂i, alors :
- z₁ / z₂ = [(a₁ + b₁i)(a₂ – b₂i)] / (a₂² + b₂²).
Exemple :
- Si z₁ = 3 + 4i et z₂ = 1 + 2i, alors :
- Conjugué de z₂ : 1 – 2i.
- z₁ / z₂ = [(3 + 4i)(1 – 2i)] / (1² + 2²).
- z₁ / z₂ = (3 – 6i + 4i – 8i²) / 5.
- z₁ / z₂ = (11 – 2i) / 5 = 11/5 – (2/5)i.
🎯 À RETENIR :
- Pour additionner ou soustraire, on traite séparément les parties réelles et imaginaires.
- Pour multiplier, on utilise la distributivité et i² = -1.
- Pour diviser, on utilise le conjugué du dénominateur.
✨ CONCLUSION
Le plan complexe est un outil puissant pour représenter et manipuler les nombres complexes. En maîtrisant le module, l’argument et les opérations, tu seras prêt(e) à résoudre des problèmes complexes avec brio ! 🚀