🌟 Carte mentale : Résolution d’équations et d’inéquations (Mathématiques – Seconde) 🌟
💡 Les grandes notions à maîtriser :
- Équations : Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques contenant une ou plusieurs inconnues (souvent notées x).
- Inéquations : Une inéquation est une inégalité (par exemple : <, >, ≤, ≥) entre deux expressions mathématiques contenant une ou plusieurs inconnues.
- Objectif : Trouver les valeurs de l’inconnue qui rendent l’équation ou l’inéquation vraie.
🧩 Sous-thématiques et concepts clés :
1️⃣ Les bases des équations
- Équation simple : Exemple : 2x + 3 = 7. L’objectif est d’isoler x pour trouver sa valeur.
- Principe d’équilibre : Ce que tu fais d’un côté de l’équation, tu dois le faire de l’autre côté ! ⚖️
- Étapes :
- Simplifier chaque côté si nécessaire (réduire les termes similaires).
- Isoler l’inconnue (x) en utilisant les opérations inverses (soustraction, division, etc.).
- Vérifier la solution en la remplaçant dans l’équation initiale. ✅
- Exemple : Résolvons 3x – 5 = 10 :
- Ajouter 5 des deux côtés : 3x = 15.
- Diviser par 3 : x = 5.
- Vérification : 3(5) – 5 = 10. C’est correct ! 🎉
2️⃣ Les inéquations
- Définition : Une inéquation est comme une équation, mais avec une inégalité (<, >, ≤, ≥).
- Règle importante : Si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, tu dois inverser le sens de l’inégalité ! 🔄
- Étapes :
- Simplifier chaque côté si nécessaire.
- Isoler l’inconnue (x).
- Représenter la solution sur une droite graduée si demandé. 📏
- Exemple : Résolvons 2x – 4 > 6 :
- Ajouter 4 des deux côtés : 2x > 10.
- Diviser par 2 : x > 5.
- Solution : Toutes les valeurs de x supérieures à 5. 🌟
3️⃣ Équations et inéquations produits
- Produit nul : Si a × b = 0, alors a = 0 ou b = 0. 🛑
- Exemple : Résolvons (x – 3)(x + 2) = 0 :
- Soit x – 3 = 0 ⟹ x = 3.
- Soit x + 2 = 0 ⟹ x = -2.
- Solutions : x = 3 ou x = -2. 🎯
- Inéquations produits : Identifier les intervalles où le produit est positif ou négatif.
- Exemple : Résolvons (x – 1)(x + 3) > 0 :
- Les solutions sont les intervalles où le produit est positif.
- Analyse avec un tableau de signes. 📝
- Solution : x < -3 ou x > 1.
4️⃣ Systèmes d’équations
- Définition : Un système d’équations est un ensemble de plusieurs équations à résoudre simultanément.
- Méthodes :
- Substitution : Exprimer une inconnue en fonction de l’autre et remplacer dans l’autre équation.
- Additions/soustractions : Ajouter ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue.
- Exemple : Résolvons :
- Équation 1 : x + y = 5.
- Équation 2 : 2x – y = 4.
- Par substitution : y = 5 – x, puis remplacer dans la 2e équation.
- Solution : x = 3, y = 2. 🎉
5️⃣ Représentation graphique
- Équations : Représenter une équation comme une droite sur un graphique. 📈
- Inéquations : Identifier les zones du plan qui satisfont l’inéquation (zones hachurées). 🖍️
- Exemple : Résolvons graphiquement y = 2x + 1 et y < 2x + 1.
📌 À retenir :
- Toujours vérifier tes solutions en les remplaçant dans l’équation ou l’inéquation initiale. ✅
- Attention aux règles spécifiques, comme l’inversion du sens de l’inégalité. 🔄
- Pratique, pratique, pratique ! Plus tu t’entraînes, plus tu seras à l’aise. 💪
🎯 Objectif final :
Être capable de résoudre des équations et inéquations simples ou complexes, et de comprendre leurs solutions graphiques et algébriques. 🚀
